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第七章 万有引力与宇宙航行
1 行星的运动
基础过关练
题组一 对开普勒定律的理解
1.(2023湖南衡阳期中)下列对开普勒定律的理解正确的是( )
A.开普勒定律只适用于行星绕太阳的运动,不适用于卫星绕地球的运动
B.火星轨道的半长轴的三次方跟它的公转周期的二次方的比等于地球轨道(可视为圆形)半径的三次方跟它的公转周期的二次方的比
C.火星与太阳的连线、地球与太阳的连线在相等的时间内扫过的面积相等
D.所有行星绕太阳运动的轨道是同一个椭圆、有共同的焦点
2.(2023江苏南京协同体七校期中联考)关于行星运动定律,下列说法正确的是( )
A.牛顿发现了行星运动定律
B.表达式R3T2=k,T代表行星的自转周期
C.表达式R3T2=k,k的大小与行星有关
D.行星绕太阳在椭圆轨道上运行,在近日点运行的速率大于在远日点运行的速率
题组二 开普勒定律的应用
3.(2023江苏盐城一中期中)我国第一颗人造地球卫星因可以模拟演奏《东方红》乐曲,并让地球上的设备从电波中接收到这段音乐而被命名为“东方红一号”,该卫星至今仍沿椭圆轨道绕地球运动。如图所示,设卫星在近地点、远地点的角速度分别为ω1、ω2,在近地点、远地点的速率分别为v1、v2,则( )
A.ω1<ω2 B.ω1=ω2 C.v1>v2 D.v1
A.1∶2 B.2∶2 C.2∶4 D.1∶4
5.(2023湖南长沙长郡中学模拟)北京冬奥会开幕式上,二十四节气倒计时惊艳全球。如图所示是地球沿椭圆轨道绕太阳运行时所处不同位置对应的节气,下列说法正确的是( )
A.夏至时地球的运行速度最大
B.从冬至到春分的运行时间为地球公转周期的14
C.若用a代表椭圆轨道的半长轴,T代表公转周期,则a3T2=k,地球和火星对应的k值不同
D.太阳既在地球公转轨道的焦点上,也在火星公转轨道的焦点上
能力提升练
题组一 应用开普勒第二定律分析实际情景
1.(2023天津西青期中)如图所示,海王星绕太阳沿椭圆轨道运动,P为近日点,Q为远日点,M、N为轨道短轴的两个端点,运行的周期为T0。若只考虑海王星和太阳之间的相互作用,则海王星在从P经M、Q到N的运动过程中( )
A.从P到M所用时间等于T04
B.从Q到N所用时间等于T04
C.从P到Q阶段,速率逐渐变小
D.从M到N所用时间等于T02
2.(2023山东泰安期中)我国首颗超百Gbps容量高通量地球静止轨道通信卫星——中星26号,于北京时间2023年2月23日在西昌卫星发射中心成功发射,该卫星主要用于为固定端及车、船、机载终端提供高速宽带接入服务。如图所示,中星26号与椭圆轨道上的侦察卫星的运行周期都为T,两星轨道相交于A、B两点,C、D连线过地心,D点为远地点。下列说法正确的是( )
A.中星26号在C点的线速度v1与侦察卫星在D点的线速度v2相等
B.中星26号与侦察卫星可能相遇
C.相等时间内中星26号与地球的连线扫过的面积大于侦察卫星与地球的连线扫过的面积
D.相等时间内中星26号及侦察卫星与地球的连线扫过的面积相等
题组二 应用开普勒第三定律进行分析与计算
3.(2023江苏无锡期末)2021年2月,我国首次火星探测任务探测器“天问一号”成功进入周期为T的大椭圆环火轨道。14天后,“天问一号”成功实施近火制动,经过极轨转移轨道(图中未画出),进入近火点高度为h、远火点高度为H、周期为15T的火星停泊轨道。已知火星半径为R,则大椭圆轨道的半长轴为( )
A.3258(h+H) B.3258(h+H+2R)
C.252 5(H+h) D.252 5(H+h+2R)
4.(2023河北沧州测试)2020年4月24日,中国行星探测任务被命名为“天问系列”,2021年“天问一号”的成功发射基于对火星运动的精确测量。如图所示,测得地球A、火星B的连线与太阳中心O、火星B的连线的最大夹角为α,设地球和火星均绕太阳做匀速圆周运动,则下列关于地球与火星做圆周运动的说法正确的是( )
A.加速度之比为aA∶aB=1∶sin2α
B.线速度之比为vA∶vB=sinα∶1
C.角速度之比为ωA∶ωB=1∶sin3α
D.轨道半径之比为rA∶rB=cos α∶1
答案与分层梯度式解析
第七章 万有引力与宇宙航行
1 行星的运动
基础过关练
1.B
2.D
3.C
4.C
5.D
1.B 开普勒定律不但适用于行星绕太阳的运动,也适用于卫星绕地球的运动,A错误。由于火星与地球均绕太阳运动,根据开普勒第三定律可知,火星轨道的半长轴的三次方跟它的公转周期的二次方的比等于地球轨道(可视为圆形)半径的三次方跟它的公转周期的二次方的比,B正确。由开普勒第二定律可知,对于任意一个行星,它与太阳的连线在相等的时间内扫过的面积相等;对于不同的行星,它们与太阳的连线在相等时间内扫过的面积并不相等,C错误。所有行星分别沿不同的椭圆轨道绕太阳运动,D错误。
导师点睛 理解开普勒定律的几个注意点
(1)开普勒定律是对行星绕太阳运动规律的总结,观测事实表明该定律也适用于其他天体绕同一中心天体的运动,如月球、卫星绕地球的运动等。
(2)开普勒第二定律与第三定律的区别:前者揭示的是同一行星在距太阳不同距离时运动快慢的规律,后者揭示的是不同行星绕太阳运动快慢的规律。
2.D 开普勒发现了行星运动定律,故A错误;表达式R3T2=k中,T代表行星的公转周期,k与太阳有关,与行星无关,故B、C错误;根据开普勒第二定律可知行星绕太阳在椭圆轨道上运行,在近日点运行的速率大于在远日点运行的速率,故D正确。
3.C 根据开普勒第二定律可知,卫星从远地点到近地点做加速运动,从近地点到远地点做减速运动,所以在近地点的速率大于在远地点的速率,即v1>v2;由于近地点到地心的距离小于远地点到地心的距离,即r1
4.C 由题意可得,甲卫星的圆轨道半径为r甲=r,乙卫星的椭圆轨道的半长轴为r乙=r+3r2=2r,由开普勒第三定律可得T甲T乙2=r甲r乙3,故T甲∶T乙=2∶4,选C。
关键点拨 对于绕同一中心天体运动的、轨道分别为椭圆和圆的两卫星,有r3T12=a3T22=k。
5.D 根据开普勒第二定律可知,地球与太阳中心连线在相同时间内扫过的面积相等,可知地球在近日点时的运行速度最大,在远日点时的运行速度最小,故夏至时地球的运行速度最小,A错误;根据对称性可知,从冬至到夏至的运行时间为地球公转周期的12,由于地球从冬至到春分的平均运行速率大于从春分到夏至的平均运行速率,可知从冬至到春分的运行时间小于从春分到夏至的运行时间,故从冬至到春分的运行时间小于地球公转周期的14,B错误;根据开普勒第三定律可知,所有绕太阳转动的行星轨道半长轴的三次方与其公转周期的二次方成正比,有a3T2=k,其中k只与中心天体有关,地球和火星都绕太阳转动,故地球和火星对应的k值相同,C错误;根据开普勒第一定律可知,所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆,太阳处于椭圆的一个焦点上,故太阳既在地球公转轨道的焦点上,也在火星公转轨道的焦点上,D正确。
能力提升练
1.C
2.C
3.B
4.AC
1.C 由对称性可知,海王星从P到Q所用时间为T02,根据开普勒第二定律可知,速率逐渐变小,则海王星从P到M的平均速率大于从M到Q的平均速率,则海王星从P到M所用的时间小于从M到Q所用的时间,所以从P到M所用的时间小于T04,故A错误,C正确;由上述分析可知,从M到Q所用时间大于T04,由对称性可知,从Q到N所用时间也大于T04,则从M到N所用时间大于T02,故B、D错误。
2.C 由于中星26号与侦察卫星的运行周期都为T,由开普勒第三定律a3T2=k可知,中星26号的轨道半径等于侦察卫星轨道的半长轴,所以在一个周期内中星26号通过的路程大于侦察卫星通过的路程,故一个周期内中星26号的平均速率大于侦察卫星的平均速率;由开普勒第二定律可知,侦察卫星在D点的速率最小,故中星26号在C点的线速度v1大于侦察卫星在D点的线速度v2,A错误。由于中星26号与侦察卫星的运行周期都为T,由图可知,中星26号和侦察卫星始终分别在C、D连线的异侧运动,不可能相遇,故B错误。由A项分析可知,中星26号的轨道半径等于侦察卫星轨道的半长轴,令相等时间为周期T,则中星26号与地球的连线扫过的面积为圆的面积,侦察卫星与地球的连线扫过的面积为椭圆面积,相等时间内中星26号与地球的连线扫过的面积较大,故C正确,D错误。
3.B 根据开普勒第三定律有?+H+2R23T52=a3T2,解得a=3258(h+H+2R),选B。
方法技巧 应用开普勒第三定律解题的步骤
(1)判断两个行星的中心天体是否相同,只有对同一个中心天体开普勒第三定律才成立;
(2)明确题中给出的周期关系或半径关系;
(3)根据开普勒第三定律a13T12=a23T22=k列式求解。
4.AC 地球A、火星B的连线与太阳中心O、火星B的连线的夹角最大时,地球A、火星B的连线与地球的公转轨道相切,则 sin α=rArB;根据开普勒第三定律有rA3TA2=rB3TB2,可得TATB=rArB32=(sin α)32。根据a=4π2T2r可得aA∶aB=1∶sin2α,故A正确,D错误。根据v=2πrT可得vA∶vB=1∶sinα,B错误。根据ω=2πT可知ωA∶ωB=1∶sin3α,C正确。
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