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2024人教版高中物理必修第二册同步
第七章 万有引力与宇宙航行
专题强化练7 天体运动中的双星、多星问题
题组一 “双星”模型
1.(2023湖南长沙雅礼中学期末)我国某大学天文学系的某教授团队利用郭守敬望远镜积累的海量恒星光谱,发现了一个处于宁静态的中子星候选体与红矮星组成的双星系统,质量之比约为2∶1,同时绕它们连线上的某点O做匀速圆周运动,研究成果于2022年9月22日发表在《自然·天文》期刊上。关于此中子星候选体绕O点的运动,下列说法正确的是 ( )
A.角速度大于红矮星的角速度
B.轨道半径小于红矮星的轨道半径
C.向心力大小约为红矮星的2倍
D.线速度小于红矮星的线速度
2.(2023江苏盐城阜宁中学月考)宇宙中,两颗靠得比较近的恒星,只受到彼此之间的万有引力作用而互相绕转,称为双星系统。设某双星系统中的两个星球A、B绕其连线上的O点做匀速圆周运动,如图所示,A的轨道半径大于B的轨道半径,两个星球的总质量为M,两个星球间的距离为L,其运动周期为T,则下列说法中错误的是 ( )
A.星球A的质量一定小于星球B的质量
B.星球A的线速度一定大于星球B的线速度
C.两个星球间的距离L一定,M越大,T越大
D.两个星球的总质量M一定,L越大,T越大
3.(2022福建厦门模拟)如图所示,恒星A、B构成的双星系统绕点O做顺时针方向的匀速圆周运动,运动周期为T1,它们的轨道半径分别为RA、RB,RA
B.恒星B的质量为MB=
C.若A也有一颗运动周期为T2的卫星,则其轨道半径一定小于C的轨道半径
D.设A、B、C三星由图示位置到再次共线的时间为t,则t=
4.(2023江苏常州测试)两个靠得很近的恒星绕着它们连线上的一点(质心)做圆周运动,构成稳定的双星系统,双星系统运动时,其轨道平面存在着一些特殊的点,在这些点处,质量极小的物体(相对于恒星而言,例如人造卫星)可以与两星体保持相对静止,这样的点被称为“拉格朗日点”。一般一个双星系统有五个拉格朗日点。如图所示,一双星系统由质量为M的天体A和质量为m的天体B构成,它们共同绕连线上的O点做匀速圆周运动,在天体A和天体B的连线之间有一个拉格朗日点P。已知双星间的距离为L,引力常量为G。
(1)求天体A做圆周运动的角速度及半径。
(2)若P点到天体A的距离为r=L,则M与m的比值是多少
题组二 三星模型
5.(2023福建泉州期末)太空中存在一些离其他恒星较远的、由质量相等的三颗星组成的三星系统,通常可忽略其他星体对它们的引力作用。已观测到稳定的三星系统存在两种基本的构成形式:一种是三颗星位于同一直线上,两颗星围绕中央星在同一半径为R的圆轨道上运行;另一种形式是三颗星位于边长为L的等边三角形的三个顶点上,并沿外接于等边三角形的圆形轨道运行。设这三个星体的质量均为M,并设两种系统的运动周期相同,引力常量为G,则 ( )
A.直线三星系统中甲星和丙星的线速度相同
B.直线三星系统的运动周期为T=4πR
C.三角形三星系统中星体间的距离为L=R
D.三角形三星系统的线速度大小为v=
6.(2023江苏泰州第二中学月考)由三颗星体构成的系统,忽略其他星体对它们的作用,存在着一种运动形式:三颗星体在相互之间的万有引力作用下,分别位于等边三角形的三个顶点上,绕某一共同的圆心O在三角形所在的平面内做相同角速度的圆周运动(图示为A、B、C三颗星体质量不相同时的一般情况)。若A星体的质量为2m,B、C两星体的质量均为m,三角形的边长为a,引力常量G已知,求:
(1)A星体所受合力的大小FA;
(2)B星体所受合力的大小FB;
(3)C星体的轨道半径RC;
(4)三星体做圆周运动的周期T。
题组三 四星模型
7.(2023广东揭阳竞赛)在宇宙中存在由质量相等的四颗星组成的“四星系统”,“四星系统”离其他恒星较远,通常可忽略其他星体对“四星系统”的引力作用。已观测到稳定的“四星系统”存在两种基本的构成形式:一种是四颗星稳定地分布在边长为a的正方形的四个顶点上,均围绕正方形对角线的交点做匀速圆周运动,如图甲所示。另一种形式是有三颗星位于等边三角形的三个顶点上,第四颗星刚好位于三角形的中心不动,三颗星沿外接于等边三角形的半径为a的圆形轨道运行,如图乙所示。假设两种形式的“四星系统”中每个星的质量均为m,已知引力常量为G,求这两种形式天体运动的周期T1和T2。
答案与分层梯度式解析
第七章 万有引力与宇宙航行
专题强化练7 天体运动中的双星、多星问题
1.BD 2.C 3.BD 5.B
1.BD
模型构建 双星模型如图所示:
在双星系统中,两星在相同时间内转过的角度相等,故中子星候选体的角速度等于红矮星的角速度,A错误。中子星候选体与红矮星间的万有引力提供它们各自做圆周运动所需的向心力,故中子星候选体的向心力大小等于红矮星的向心力大小,有G=m1ω2r1,G=m2ω2r2,解得=,又由于中子星候选体与红矮星的质量之比约为2∶1,所以中子星候选体的轨道半径与红矮星的轨道半径之比约为1∶2,故B正确,C错误。双星系统中两星的角速度相等,中子星候选体的轨道半径与红矮星的轨道半径之比约为1∶2,根据v=ωr,可知中子星候选体的线速度与红矮星的线速度之比约为1∶2,D正确。
2.C 双星的运行周期T相同,设A、B的轨道半径分别为r1、r2,由彼此间的万有引力提供它们各自做圆周运动所需的向心力,可得G=m1r1·=m2r2·,可得m1r1=m2r2①,由题意可知A的轨道半径大于B的轨道半径,故A的质量小于B的质量,A正确,不符合题意。根据v=,A的轨道半径r1较大,故A的线速度较大,B正确,不符合题意。A、B的轨道半径满足r1+r2=L②,将②式代入①式,可得r1=L,代入G=m1r1·=m2r2·可得T=2π,可知,两个星球间的距离L一定,M越大,T越小;两个星球的总质量M一定,L越大,T越大;C错误,符合题意,D正确,不符合题意。
3.BD 在知道C的轨道半径和周期的情况下,根据万有引力定律和牛顿第二定律列方程只能求解B的质量,无法求解C的质量,A错误。在A、B组成的双星系统中,对A根据牛顿第二定律有G=MARA,解得MB=,B正确。对A、B组成的双星系统有MARA=MBRB,因为RA
4.答案 (1) L (2)104∶19
解析 (1)设O点与天体A、B之间的距离分别为r1和r2,天体转动的角速度为ω,则r1+r2=L
对于天体A有=Mr1ω2
对于天体B有=mr2ω2
可得ω=、r1=L
(2)在P点放置一个极小的物体,设其质量为m0,它与A、B转动的角速度相同,对于小物体有-=m0ω2(r-r1)
可得M∶m=104∶19
5.B 直线三星系统中甲星和丙星角速度相同,运动半径相同,由v=ωR可知,甲星和丙星的线速度大小相等,方向不同,故A错误。由G+G=MR得T=4πR,故B正确。三角形三星系统中任意星体所受合力为F=2G cos 30°=G,且F=Mr,轨道半径r与边长L的关系为L=r;两种系统的运动周期相同,解得L=R,故C错误;三角形三星系统的线速度大小为v=,得v=·,故D错误。
6.答案 (1)2 (2) (3)a (4)π
解析 (1)由万有引力定律可知,A星体所受B、C星体引力大小为FBA=FCA=G=G
则合力大小为FA=2G,方向如图所示。
(2)同上,B星体所受A、C星体引力大小分别为
FAB=G=G
FCB=G=G
方向如图。
由FBx=FAB cos 60°+FCB=2G
FBy=FAB sin 60°=G
可得FB==G
(3)通过分析可知,圆心O在中垂线AD的中点,
RC==a
(4)三星体运动周期相同,对C星体,有
FC=FB=G=mRC
可得T=π
7.答案 2πa 2πa
解析 根据题意,由几何关系可知,题图甲中对角线上两颗星之间的距离为r1=a
由对称性可知,每颗星的受力情况均相同,对A星受力分析如图所示。
根据万有引力定律可得F1=F3=
F2=
则每颗星所受合力为F合1=F1+F2=
由合力提供向心力,有F合1=m·a
解得T1=2πa
由几何关系可知,题图乙中三角形顶点上两个星间的距离为r2=a
由对称性可知,每颗星的受力情况均相同,B星的受力情况如图所示。
根据万有引力定律可得F4=F6==
F5=
则每颗星所受合力为F合2=2F4 cos 30°+F5=
由合力提供向心力,有F合2=ma
解得T2=2πa
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