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第七章 万有引力与宇宙航行
3 万有引力理论的成就
基础过关练
题组一 天体质量的计算
1.(2023湖北宜昌期中)北京时间2023年7月27日4时02分,我国在西昌卫星发射中心使用长征二号丁运载火箭,采取一箭三星方式,成功将遥感三十六号卫星发射升空。假设某颗质量为m的人造地球卫星绕地球沿圆轨道运行,其轨道半径为r,周期为T,引力常量为G,则地球的质量为( )
A.4π2rGT2 B.4π2r3GT C.4πr3GT2 D.4π2r3GT2
2.(2023辽宁锦州测试)航天员在某星球将一物体从离地50 m高度处释放,使其做自由落体运动,经5 s落地。已知该星球的半径是地球半径的2倍,地球表面的重力加速度g取10 m/s2,设地球质量为M,则该星球的质量为 ( )
A.85M B.M C.2M D.65M
3.(2023广东江门学科竞赛)卫星绕某一行星运动的轨道可近似看成是圆轨道,观察发现每经过时间t,卫星运动所通过的弧长为l,该弧长对应的圆心角为θ。已知引力常量为G,由此可计算该行星的质量为( )
A.l2Gt2 B.l3Gθt2 C.lGθt2 D.l2Gθt2
4.(2022安徽合肥宏图中学期中)人造卫星绕地球的运动可视为匀速圆周运动,卫星的轨道半径的三次方与绕行周期的二次方的关系如图中甲所示;火星作为航空航天探索的热门研究对象,火星的周围有两个天然卫星和数个人造卫星,它们的运动也可视为绕火星做匀速圆周运动,它们的轨道半径的三次方与绕行周期的二次方的关系如图中乙所示。图中m、n、p、q已知,则地球和火星的质量之比为( )
A.pqmn B.mnpq C.pnqm D.pmqn
题组二 天体密度的计算
5.(2023四川成都模拟)中国空间站天和核心舱绕地球的运动可视为匀速圆周运动,已知其轨道距地面的高度为h,运行周期为T,地球半径为R,引力常量为G,由此可得到地球的平均密度为( )
A.3πGT2 B.4πGT2
C.3π(R+?)3GT2R3 D.3π2(R??)3GT2R3
6.2020年10月26日,我国在西昌卫星发射中心用长征二号丙运载火箭成功将遥感三十号07组卫星发射送入预定轨道。若该卫星绕地球做匀速圆周运动,其轨道半径为r,线速度大小为v,地球半径为R,引力常量为G,则地球的平均密度为( )
A.3v2r4πGR3 B.4v2r3πGR3 C.3v2R4πGr3 D.4v2R3πGr3
7.(2023广东广州第七中学期中)在某星球表面以初速度v0竖直上抛一个物体,经过t时间物体落回抛出点。若物体只受该星球引力作用,不考虑星球的自转,已知该星球的直径为d,引力常量为G,则该星球的平均密度为( )
A.3v0πGdt B.6v0πGdt C.3v0tπGd D.6πv0Gdt
题组三 对未知天体的判断
8.(2023山东潍坊期中)关于万有引力定律应用于天文学研究的历史事实,下列说法中正确的是 ( )
A.天王星和海王星都是运用万有引力定律,经过大量计算以后而发现的
B.在18世纪已经发现的七颗行星中,人们发现第七颗行星——天王星的运动轨道总是同根据万有引力定律计算出来的结果有比较大的偏差,于是有人推测,在天王星轨道外还有一颗行星,是它的存在引起了上述偏差
C.第八颗行星是牛顿运用自己发现的万有引力定律,经过大量计算而发现的
D.天王星是英国剑桥大学的学生亚当斯和法国年轻的天文学家勒维耶合作研究后共同发现的
题组四 绕中心天体运动中相关物理量的分析与计算
9.(2023江西赣州期中)某天文爱好者用望远镜观测到地球上空的一颗卫星A的运行周期为100分钟,而另一颗卫星B的运行周期为90分钟,若两卫星均做匀速圆周运动,则下列说法正确的是( )
A.卫星A与卫星B绕地球运行的轨道半径之比为109∶1
B.卫星A与卫星B绕地球运行的轨道半径之比为310081∶1
C.卫星A与卫星B的线速度大小之比为310081∶1
D.卫星A与卫星B的线速度大小之比为3910∶1
10.(2023河北保定期中)2022年11月29日23时08分,搭载神舟十五号载人飞船的运载火箭在酒泉卫星发射中心点火发射,约10分钟后,神舟十五号载人飞船与火箭成功分离,进入预定轨道,航天员乘组状态良好,发射取得圆满成功。已知神舟十五号飞船总质量为m,进入轨道后做匀速圆周运动,距离地面的高度为h,地球表面的重力加速度为g,地球半径为R。关于神舟十五号飞船在轨运行的周期T、线速度v、向心加速度a,以下表达式正确的是( )
A.T=2πRg B.v=gR2R+?
C.a=gR2(R+?)2 D.a=g
11.(2023山东菏泽月考)2021年2月10日19时52分,我国首次火星探测任务“天问一号”探测器实施近火捕获制动,成功实现环绕火星运动,成为我国第一颗人造火星卫星。我国航天局发布了由“天问一号”拍摄的首张火星图像(如图所示)。在“天问一号”环绕火星做匀速圆周运动时,周期为T,轨道半径为r,已知火星的半径为R,引力常量为G,不考虑火星的自转,下列说法正确的是( )
A.火星的质量为M=4π2r3GT2
B.火星的质量为M=4πr3GT
C.火星表面的重力加速度大小为g=πr3T2R2
D.火星表面的重力加速度大小为g=4π2r3T2R
能力提升练
题组一 天体的质量和密度的计算
1.(2023辽宁沈阳第二中学月考)2022年11月27日,我国在西昌卫星发射中心使用长征二号丁运载火箭,成功将遥感三十六号卫星发射升空,卫星顺利进入预定轨道,发射任务获得圆满成功。若已知该卫星在预定轨道上绕地球做匀速圆周运动,其线速度大小为v,角速度大小为ω,引力常量为G,则地球的质量为( )
A.v3Gω2 B.v2Gω
C.v3Gω D.v2Gω2
2.(2022江西景德镇期中)为了探测某星球,某航天员乘探测飞船先绕该星球表面附近做匀速圆周运动,测得运行周期为T,然后登陆该星球,测得一物体在此星球表面做自由落体运动的时间是在地球表面同一高度处做自由落体运动时间的一半。已知地球表面的重力加速度为g,引力常量为G,则由此可得该星球的质量为( )
A.4g3T4Gπ4 B.g2T3Gπ3
C.gT2Gπ2 D.g3π4GT2
3.(2023黑龙江省实验中学月考)已知地球半径为R,月球半径为r,地球与月球中心之间的距离为L。月球绕地球公转的周期为T1,地球自转的周期为T2,地球绕太阳公转的周期为T3,假设公转运动都视为圆周运动,引力常量为G,由以上条件可知( )
A.月球运动的加速度为a=4π2LT12
B.月球的质量为m月=4π2LGT12
C.地球的密度为ρ=3πLGT12
D.地球的质量为M地=4π2LGT32
题组二 天体运动中相关物理量的分析与计算
4.(2023上海虹口上外附中模拟)发现未知星体是万有引力定律的重要成就之一,如“笔尖下发现的行星”——海王星。英国剑桥大学的学生亚当斯和法国巴黎年轻的天文学家勒维耶根据天王星的观测资料,发现天王星实际运行的轨道与根据万有引力定律计算出的轨道总存在一些偏离,且周期性地每隔t时间发生一次最大的偏离,这种现象是由海王星靠近天王星时两星间的万有引力引起的。已知天王星绕太阳运行的轨道半径为R,周期为T,假定两颗行星的运动可以认为是匀速圆周运动,请你利用所学知识确定海王星的轨道半径为( )
A.R3tt?T2 B.tt?TR
C.R3t?Tt2 D.R3t2t?T
5.(2023江苏徐州质检)探索火星的奥秘承载着人类征服宇宙的梦想。假设人类某次利用飞船探测火星的过程中,飞船只在万有引力的作用下贴着火星表面做圆周运动时,测得其绕行速度为v,绕行周期为T,已知引力常量为G,则( )
A.火星表面的重力加速度为πvT
B.火星的半径为Tv2π
C.火星的密度为GT23π
D.火星的质量为Tv22πG
答案与分层梯度式解析
第七章 万有引力与宇宙航行
3 万有引力理论的成就
基础过关练
1.D
2.A
3.B
4.C
5.C
6.A
7.A
8.B
9.BD
10.BC
11.A
1.D 卫星绕地球沿圆轨道运行,地球对卫星的万有引力提供向心力,有GMmr2=m4π2T2r,解得M=4π2r3GT2,选D。
2.A 设该星球表面的重力加速度为g1,则有h=12g1t2,解得g1=4 m/s2;在任意星球表面,物体的重力近似等于星球对其的万有引力,有mg=GMmR2,解得g=GMR2;设该星球的质量为M1,地球半径为R,则该星球半径为2R,gg1=M·(2R)2M1·R2=104,解得M1=85M,选A。
3.B 设行星的质量为M,卫星的质量为m,卫星做匀速圆周运动的轨道半径为r,由万有引力提供向心力,则有GMmr2=mv2r,其中r=lθ,v=lt,联立可得M=l3Gθt2,选项B正确。
4.C 卫星绕地球、火星做匀速圆周运动时,万有引力提供向心力,有GMmr2=m2πT2r,解得M=4π2r3GT2,可得r甲3T甲2∝Μ地,r乙3T乙2∝Μ火,所以地球和火星质量之比为M地M火=r甲3T乙2r乙3T甲2=pnqm,C正确。
5.C 中国空间站天和核心舱绕地球做匀速圆周运动,万有引力提供向心力,有GMm(R+?)2=m2πT2(R+h),可得地球的质量为M=4π2(R+?)3GT2;地球可视为球体,可得地球的平均密度为ρ=MV=4π2(R+?)3GT24πR33=3π(R+?)3GT2R3,选C。
6.A 设地球的质量为M,卫星的质量为m,根据万有引力提供向心力,有GMmr2=mv2r,解得M=v2rG,地球的体积为V=43πR3,可得地球的平均密度ρ=MV=3v2r4πGR3,选项A正确。
7.A 根据竖直上抛运动规律,星球表面的重力加速度g=2v0t。设该星球质量为M,物体质量为m,不考虑星球的自转,物体所受的重力等于星球对物体的万有引力,即mg=GMmd22,解得M=gd24G;又ρ=M43πd23,联立解得ρ=3v0πGdt,故A正确,B、C、D错误。
思路点拨 忽略星球自转,根据重力与万有引力相等,可以由星球表面重力加速度和星球半径求得星球质量,进而求得星球平均密度。解决本题的关键是由竖直上抛运动规律求得星球表面的重力加速度。
8.B 天王星是在1781年发现的,而卡文迪什测出引力常量G的值是在1798年,在此之前人们还不能用万有引力定律做有实际意义的计算,故A错误;太阳系的第八颗行星即海王星,是由英国剑桥大学的学生亚当斯和法国年轻的天文学家勒维耶各自独立地利用万有引力定律计算出轨道,由德国的伽勒在勒维耶预言的位置附近首先发现的,C、D错误。
9.BD A、B两卫星均绕地球做匀速圆周运动,由开普勒第三定律得rA3rB3=TA2TB2,故rArB=3TA2TB2=310081,A错误,B正确;由万有引力提供向心力,可得GMmr2=mv2r,故v=GMr,则vAvB=rBrA=3910,故C错误,D正确。
10.BC 神舟十五号飞船在轨运行时做匀速圆周运动,轨道半径r=R+h,根据万有引力提供向心力,有GMm(R+?)2=mv2R+?=ma=m4π2T2(R+h);在地球表面,忽略地球自转的影响,物体的重力等于地球对其的万有引力,有mg=GMmR2;联立解得T=2π(R+?)3gR2,v=gR2R+?,a=gR2(R+?)2,故B、C正确。
11.A 设“天问一号”的质量为m,环绕火星做匀速圆周运动时,火星对其的万有引力提供向心力,有GMmr2=mr2πT2,解得M=4π2r3GT2,故A正确,B错误;不考虑火星自转,则物体在火星表面受到的重力等于万有引力,有m'g=GMm'R2,将M代入可得g=4π2r3T2R2,故C、D错误。
导师点睛 研究天体运动和天体表面物体运动问题,重力加速度g是联系的桥梁,需掌握两种关系:一是在星球表面物体所受重力等于星球对其的万有引力;二是物体绕星球做匀速圆周运动,其向心力由万有引力提供。
能力提升练
1.C
2.A
3.A
4.A
5.B
1.C 设地球质量为M,卫星质量为m,在预定轨道上绕地球运动的半径为r,根据牛顿第二定律有GMmr2=mω2r,结合v=ωr,解得M=v3Gω,选C。
2.A 物体在地球上做自由落体运动,有h=12gt2,在该星球上做自由落体运动,有h=12g't'2,而t'=t2,解得g'=4g;探测飞船在星球表面附近做匀速圆周运动,根据万有引力提供向心力,有GMmR2=mg'=m4π2RT2,解得M=4g3T4Gπ4,选A。
3.A 由月球绕地球做圆周运动,有GM地m月L2=m月a=m月4π2T12L,解得月球运动的加速度为a=4π2LT12;根据上述公式可知月球质量将会约去,无法求出月球质量,故A正确,B错误。由月球绕地球做圆周运动,有GM地m月L2=m月4π2T12L,求得地球质量M地=4π2L3GT12,又知体积V=43πR3,则地球的密度为ρ=M地V=3πL3GT12R3,C、D错误。
导师点睛 (1)根据轨道半径r和运行周期T,求得M=4π2r3GT2,M是中心天体的质量,而不是行星(或卫星)的质量;
(2)注意区分天体半径与轨道半径,只有卫星在天体表面做匀速圆周运动时,卫星的轨道半径r才可以认为等于天体半径R。
4.A 天王星实际运行的轨道每隔t时间发生一次最大的偏离,即每隔t时间海王星与天王星相距最近,设海王星运行的周期为T0,圆轨道半径为R0,则有2πT?2πT0t=2π,解得T0=tTt?T;根据开普勒第三定律有R03T02=R3T2,解得R0=R3tt?T2,故选A。
5.B 飞船在火星表面做匀速圆周运动,轨道半径等于火星的半径,根据v=2πRT,得火星的半径R=vT2π,B正确;根据万有引力提供向心力,有GMmR2=m4π2T2R,得火星的质量M=4π2R3GT2=Tv32πG,D错误;根据密度公式得火星的密度ρ=MV=4πR3GT24πR33=3πGT2,C错误;根据飞船在火星表面所受的重力等于火星对其的万有引力,有mg=GMmR2,得火星表面的重力加速度为g=GMR2=GTv32πGvT2π2=2πvT,A错误。
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