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数学试卷
全卷满分150分，考试时间120分钟．
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知集合，集合，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】直接根据并集的定义求解即可.
【详解】，,
.
故选：B.
2. “”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】通过求出的范围，再通过充分性和必要性的概念得答案.
【详解】由得或，
因为可推出或，满足充分性，
或不能推出，不满足必要性.
故“”是“”的充分不必要条件.
故选：A.
3. 已知，则（ ）
A. B. 1 C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用同角三角函数的基本关系式即可求得结果．
【详解】，
故选：B．
4. 已知正实数满足，则的最小值为（ ）
A. 8 B. 17 C. 20 D. 25
【答案】D
【解析】
【分析】利用，展开后通过基本不等式求最小值.
【详解】
，
当且仅当，即时等号成立.
故选：D.
5. 如图所示，在中，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据向量的线性运算法则，准确化简、运算，即可求解.
【详解】根据向量的线性运算法则，可得：
.
故选：A
6. 已知，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用辅助角公式求得，然后利用二倍角公式计算即可.
【详解】，则，
则，
故选：D.
7. 已知函数，则函数的值域为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据对数的运算性质化简，从而得出值域．
【详解】．故值域为．
故选：B．
8. 已知函数，若恰有3个零点，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】恰有3个零点，即的图象与的图象恰有3个不同的交点，借助的图象求解即可.
【详解】设，
则恰有3个零点，即的图象与的图象恰有3个不同的交点.
的图象如图所示.
不妨设，所以，
所以，即，即，所以，
所以，
故选：A.
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9. 已知幂函数的图象经过点，则下列说法正确的是（ ）
A. B. 是奇函数
C. 是偶函数 D. 在上单调递增
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据幂函数经过的点得其表达式，结合幂函数的性质即可根据选项逐一求解.
【详解】因为函数的图象过点，所以，即，所以，故A正确：
，定义域为，关于原点对称，所以，所以是偶函数，故B错误，C正确：
又，所以在上单调递减，又是偶函数，所以在上单调递增，故D正确．
故选：ACD．
10. 已知，则下列选项中能使成立的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】AC
【解析】
【分析】利用不等式的性质逐一判断即可.
【详解】对于A：，，，，故A正确；
对于B：，，，，故B错误；
对于C：，，故C正确；
对于D：，，，，故D错误；
故选：AC.
11. 已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则下列说法正确的是（ ）
A.
B. 当时，
C. 在上单调递增
D. 不等式的解集为
【答案】BD
【解析】
【分析】由奇函数的定义可求解A、B；用特值法可判断C；分段求解不等式可判断D.
【详解】，故A错误；
当时，，所以，故B正确；
因为，，又，故C错误；
当时，，解得；
当时，，无解；
当时，，所以不等式的解集为，故D正确.
故选：BD.
12. 已知函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A.
B. 的单调减区间为
C. 图象的一条对称轴方程为
D. 点是图象的一个对称中心
【答案】ABC
【解析】
【分析】由题可知，解得，又在的图象上，结合得，得，即可判断A；根据三角函数的性质可判断B、C、D.
【详解】由题可知，所以，解得，
所以，又在的图象上，所以，
所以，所以，又，所以，
所以，故A正确；
令，解得，
所以的单调减区间为，故B正确；
令，解得，当时，，故C正确；
令，解得，令，则，故D错误.
故选：ABC.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13. ______．
【答案】
【解析】
【分析】根据诱导公式和特殊角的三角函数值得出答案.
【详解】.
故答案为：.
14. 已知函数的定义域为，则的定义域为______．
【答案】
【解析】
【分析】通过函数的定义域可得中，解出即可.
【详解】由函数的定义域为得，
对于有，
，即的定义域为.
故答案为：.
15. 已知函数，则______．
【答案】##
【解析】
【分析】先由计算出，借助与关系的判断函数的性质，借助函数的性质即可解决问题.
【详解】由，
则，
有，
故，
故答案为：.
16. 已知函数，则的解集为______．
【答案】
【解析】
【分析】根据函数奇偶性的定义可得为偶函数，根据解析式直接判断函数的单调性，进而结合奇偶性与单调性求解即可.
【详解】由，，
则，
所以函数为偶函数，
当时，，
因为函数，均在上单调递增，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，
所以由，
得，解得或，
即的解集为.
故答案为：.
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步聚．
17. 求值：
（1）；
（2）
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】第一小问借助指数与对数的运算性质即可得到；第二小问借助两角和的正弦公式将拆开即可得到.
【小问1详解】
原式
.
【小问2详解】
原式
.
18. 已知向量与的夹角为，且，．向量与共线，
（1）求实数的值；
（2）求向量与的夹角．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据共线向量定理，即可求解；
（2）根据向量夹角公式，，再代入数量积的运算公式，即可求解.
【小问1详解】
若向量与共线，
则存在实数，使得，
则，则；
【小问2详解】
由（1）知，，
，
，
，
，
所以，且，
所以.
19. 设函数.
（1）求的图象的对称轴方程和对称中心的坐标；
（2）求在上的最值.
【答案】（1）；；
（2），.
【解析】
【分析】（1）利用三角恒等变换化简，再利用三角函数的性质求得答案；
（2）利用函数的单调性求出最值．
小问1详解】
因为，
令，解得，
所以的对称轴方程为，
令，得，
可得函数图象的对称中心的坐标为；
【小问2详解】
因为，所以，
令，解得，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，，，故.
20. 已知.
（1）当时，求不等式的解集；
（2）已知函数的定义域为，求实数的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】(1)根据不含参的一元二次不等式的解法即可求解；
(2)当时不等式成立；当时，根据一元二次不等式恒成立，列出不等式组，解之即可.
【小问1详解】
当时，，
或，
则的解集为；
【小问2详解】
由题意可知恒成立.
①当，即时，不等式为对任意恒成立，符合题意；
②当，即时，对于任意恒成立，
只需，
解得，所以.
综合①②可得实数的取值范围是.
21. 某水产公司拟在养殖室修建三个形状、大小完全相同的长方体育苗池．其平面图如图所示，每个育苗池的底面积为200平方米，深度为2米，育苗池的四周均设计为2米宽的甬路．设育苗池底面的一条边长为x米（），甬路的面积为S平方米．
（1）求S与x之间的函数关系式；
（2）已知育苗池四壁造价为200元/平方米，池底的造价为600元/平方米，甬路的造价为100元/平方米，若不考虑其他费用，求x为何值时，总造价最低，并求最低造价．
【答案】（1），
（2）米时，总造价最低，最低总造价为459200元.
【解析】
【分析】（1）根据题意得到养殖室的总面积，从而表达出函数关系式；
（2）在第（1）问的基础上，表达出总造价关于的函数关系式，并利用基本不等式求出最小值.
【小问1详解】
由题意可得每个育苗池另一边长为米，
则，；
【小问2详解】
设总造价为元，则
，，
其中，
当且仅当，即时，等号成立，
故，
所以米时，总造价最低，最低总造价为459200元.
22. 已知函数，其中，若将的图象向左平移个单位长度，得到的图象，且函数为奇函数.
（1）求函数的解析式；
（2）若关于的方程在区间上有三个不相等的实数根，求实数的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）化简，利用图象平移规律得，由结合求得，即可得解；
（2）令，方程可化为，令，，问题转化为关于的方程在区间和上分别有一个实数根，或有一个实根为1，另一实根在区间上，分类讨论求解即可.
小问1详解】
，
.
又是奇函数，所以，有，
可得，
整理得，
由，有，得，
由，可得，，经检验符合题意，
.
【小问2详解】
由（1）知方程
可化为，可得
令，方程可化为，令，
由，可得，可得，
若关于的方程在区间上有三个不相等的实根，可知关于的方程在区间和上分别有一个实数根，或有一个实根为1，另一实根在区间上，
①关于的方程在和上分别有一个实根时，
，解得；
②关于的方程的一个根为时，，可得，
此时可化为，所得或，不合题意；
③关于的方程的一个根为1时，，可得，此时有，解得或，由，不合题意，
由上知.高2023级半期考试
数学试卷
全卷满分150分，考试时间120分钟．
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知集合，集合，则（ ）
A. B. C. D.
2. “”是“”的（ ）
A 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
3. 已知，则（ ）
A. B. 1 C. D.
4. 已知正实数满足，则最小值为（ ）
A. 8 B. 17 C. 20 D. 25
5. 如图所示，在中，，则（ ）
A. B.
C D.
6. 已知，则（ ）
A. B. C. D.
7. 已知函数，则函数的值域为（ ）
A. B. C. D.
8. 已知函数，若恰有3个零点，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9. 已知幂函数的图象经过点，则下列说法正确的是（ ）
A. B. 是奇函数
C. 是偶函数 D. 在上单调递增
10. 已知，则下列选项中能使成立的是（ ）
A. B. C. D.
11. 已知函数是定义在上奇函数，当时，，则下列说法正确的是（ ）
A.
B. 当时，
C. 在上单调递增
D. 不等式的解集为
12. 已知函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A.
B. 的单调减区间为
C. 图象的一条对称轴方程为
D. 点是图象的一个对称中心
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13. ______．
14. 已知函数的定义域为，则的定义域为______．
15. 已知函数，则______．
16. 已知函数，则解集为______．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步聚．
17. 求值：
（1）；
（2）
18. 已知向量与的夹角为，且，．向量与共线，
（1）求实数的值；
（2）求向量与的夹角．
19. 设函数.
（1）求的图象的对称轴方程和对称中心的坐标；
（2）求在上的最值.
20. 已知.
（1）当时，求不等式的解集；
（2）已知函数的定义域为，求实数的取值范围.
21. 某水产公司拟在养殖室修建三个形状、大小完全相同的长方体育苗池．其平面图如图所示，每个育苗池的底面积为200平方米，深度为2米，育苗池的四周均设计为2米宽的甬路．设育苗池底面的一条边长为x米（），甬路的面积为S平方米．
（1）求S与x之间的函数关系式；
（2）已知育苗池四壁的造价为200元/平方米，池底的造价为600元/平方米，甬路的造价为100元/平方米，若不考虑其他费用，求x为何值时，总造价最低，并求最低造价．
22. 已知函数，其中，若将的图象向左平移个单位长度，得到的图象，且函数为奇函数.
（1）求函数的解析式；
（2）若关于的方程在区间上有三个不相等的实数根，求实数的取值范围.
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