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浙教版2023-2024学年八上数学第1、2章综合培优复习卷1 （解析版）
一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）
下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.
1．“致中和，天地位焉，万物育焉.”对称美是我国古人和谐平衡思想的体现，常被运用于建筑、器物、绘画、标识等作品的设计上，使对称之美惊艳了千年的时光.在下列与扬州有关的标识或简图中，不是轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】A、是轴对称图形，故本选项不合题意；
B、是轴对称图形，故本选项不合题意；
C、不是轴对称图形，故本选项符合题意；D、是轴对称图形，故本选项不合题意.
故答案为：C.
2．已知线段 a＝2cm，b＝4cm，则下列长度的线段中，能与 a，b组成三角形的是（ ）
A．2cm B．4cm C．6cm D．8cm
【答案】B
【解析】 ， ，
第三边
能与 ， 能组成三角形的是 ，
故答案为： .
3．如图，△AOB≌△ADC，点B和点C是对应顶点，∠O＝∠D＝90°，若∠OAD＝64°，当BC∥OA时，∠ABO的度数为（ ）
A．26° B．32° C．36° D．38°
【答案】B
【解析】∵△AOB≌△ADC，
∴AB＝AC，∠BAO＝∠CAD，
∴∠BAC＝∠OAD＝64°，在△ABC中，∠ABC＝ （180°﹣64°）＝58°，
∵BC∥OA，
∴∠OBC＝180°﹣∠O＝180°﹣90°＝90°，
∴∠ABO+58°＝90°，
∴∠ABO＝32°.
故答案为：B.
4．下列说法正确的是（ ）
A．顶角相等的两个等腰三角形全等 B．有一个角是60°的三角形是等边三角形
C．等腰三角形两底角相等 D．等腰三角形的高、中线、角平分线互相重合
【答案】C
【解析】A、错误，缺少边相等，本选项不符合题意；
B、错误，应该是有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形，本选项不符合题意；
C、正确，本选项符合题意.
D、错误，应该是等腰三角形底边上的高、底边上的中线、顶角的角平分线互相重合，本选项不符合题意.
故答案为：C.
5．下列条件中，不能判定△ABC是直角三角形的是（ ）
A．a：b：c＝5：12：13 B．b2＝（a+c）（a﹣c）
C．∠C＝∠A﹣∠B D．∠A：∠B：∠C＝3：4：5
【答案】D
【解析】A、设a=5x，b=12x，c=13x，则 ，可得△ABC是直角三角形，故本选项不符合题意；
B、b2＝（a+c）（a﹣c）=a2-c2，则 ，可得△ABC是直角三角形，故本选项不符合题意；
C、因为∠C＝∠A﹣∠B，所以∠A＝∠C +∠B，则∠A＝90°，可得△ABC是直角三角形，故本选项不符合题意；
D、设 ，则 ，解得： ，所以 ，即△ABC不是直角三角形，故本选项符合题意；
故答案为：D.
6．如图，直线L上有三个正方形a，b，c，若a，c的面积分别为1和9，则b的面积为（
A．8 B．9 C．10 D．11
【答案】C
【解析】由于a、b、c都是正方形，所以AC=CD，∠ACD=90°；
∵∠ACB+∠DCE=∠ACB+∠BAC=90°，即∠BAC=∠DCE，
在△ABC和△CED中， ，∴△ACB≌△CDE（AAS），
∴AB=CE，BC=DE；在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC2=AB2+BC2=AB2+DE2，
即Sb=Sa+Sc=1+9=10，
∴b的面积为10，
故答案为：C．
7．如图，△ABC是等边三角形，AB＝10，点D是BC边上任意一点，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，则BE+CF的长是（ ）
A．5 B．6 C．8 D．10
【答案】A
【解析】设BD＝x，则CD＝10﹣x，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠B＝∠C＝60°，
∴∠BDE＝30°，∠CDF＝30°，
∴BE＝ BD＝ 同理可得，CF＝ ，
∴BE+CF＝ ＝5.
故答案为：A.
8．如图，△ABC与△CED均为等边三角形，且B，C，D三点共线.线段BE，AD相交于点O，AF⊥BE于点F.若OF＝1，则AF的长为（ ）
A．1 B． C． D．2
【答案】C
【解析】∵△ABC和△ECD均为等边三角形
∴AC＝BC，∠ACB＝∠DCE＝60°，CD＝CE，
∴∠BCE＝∠ACD＝120°
在△ACD与△BCE中 ，∴△ACD≌△BCE（SAS）
∴∠ADC＝∠BEC，∠CAD＝∠CBE
∵∠BOD＝180°﹣∠EBC﹣∠CDA ∵∠BCE＝∠ACD＝120°
∴∠EBC+∠CEB＝∠EBC+∠ADC＝60°
∴∠BOD＝180°﹣60°＝120°.
∴∠AOB＝60°，
∵AF⊥BE于点F.OF＝1，
∴AF＝ .
故答案为：C.
9．如图，已知△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC，三角形的顶点在相互平行的三条直线l1，l2，l3上，且l1，l2之间的距离为2，l2，l3之间的距离为3，则AC的长是（ ）
A． B． C．4 D．7
【答案】A
【解析】作AD⊥l3于D，作CE⊥l3于E，
∵∠ABC=90°，
∴∠ABD+∠CBE=90°
又∠DAB+∠ABD=90°
∴∠BAD=∠CBE， ，∴△ABD≌△BCE
∴BE=AD=3
在Rt△BCE中，根据勾股定理，得BC= ，
在Rt△ABC中，根据勾股定理，得AC= .
故答案为：A.
10．如图，在△ABC中，AD是BC边上的高线，CE是AB边上的中线，DG⊥CE于点G，CD＝AE.若BD＝8，CD＝5，则△DCG的面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】连接DE，
∵AD是BC边上的高线，CE是AB边上的中线，∴AE＝ED＝BE，
∵CD＝AE.∴ED＝CD，
∵DG⊥CE于点G，∴EG＝GC，
∵CD＝5，∴DE＝5，∴AB＝10，
∴AD＝6，
过E作EF⊥BC于F，
∵△ABC的面积＝ ，
∴△BEC的面积＝ ，
∵△BED的面积＝ ，
∴△EDC的面积＝ ﹣12＝ ，
∴△DGC的面积＝ .
故答案为：D.
二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分）
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.
11．若等腰三角形一个内角的度数为50°，则它的顶角的度数是 .
【答案】50°或80°
【解析】如图所示，△ABC中，AB＝AC.
有两种情况：
①顶角∠A＝50°；
②当底角是50°时，
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C＝50°，
∵∠A+∠B+∠C＝180°，
∴∠A＝180°﹣50°﹣50°＝80°，
∴这个等腰三角形的顶角为50°或80°.
故答案为：50°或80°.
12．在Rt△ABC中，两直角边的边长分别为3和4，则其斜边上的高为 .
【答案】
【解析】如图，AC＝3，BC＝4，
∴AB＝ ＝ ＝5，
作CD⊥AB，
∵S△ABC＝ AC BC＝ CD AB，
∴ ×3×4＝ ×5 CD，
∴CD＝ .
故答案为： .
13．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，CD＝3cm，则点D到AB边的距离为 .
【答案】3cm
【解析】如图，过D点作DE⊥AB于点E，
∵∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，
∴CD＝DE（角的平分线上的点到角的两边的距离相等），
∵CD＝3cm，
∴DE＝3cm.
故答案为：3cm.
14．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AC＝3，AD是△ABC的角平分线，点P在AB上，且PD＝PB，则PD＝ .
【答案】2
【解析】∵∠C＝90°，∠B＝30°，AC＝3，
∴AB＝6，
∵AD是△ABC的角平分线，
∴∠DAB＝ ∠CAB＝30°，
∵PD＝PB，
∴∠B＝∠PDB＝30°，
∴∠APD＝60°，
∴∠ADP＝180°﹣60°﹣30°＝90°，
∴2PD＝AP，
∴3PD＝6，
∴PD＝2，
故答案为：2.
15．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，点D在边AB上，AD＝AC，AE⊥CD，垂足为F，与BC交于点E，则BE的长是 .
【答案】
【解析】连接DE，
∵AD＝AC，AE⊥CD，∴AE是CD的垂直平分线，
∴CE＝DE，∴∠ADE＝∠ACB＝90°，
在Rt△ABC中，由勾股定理得：AB＝ =5，
∴BD＝AB﹣AD＝2，
∴S△ABC＝S△ACE+S△ABE，
∴AC×BC＝AC×CE+AB×DE，
∴3×4＝3CE+5DE，
∴DE＝ ，
在Rt△BDE中，由勾股定理得：
BE＝ ＝ ＝ .
故答案为： .
16．如图，△ABC与△ADE都是以A为直角顶点的等腰直角三角形，DE交AC于点F，若AB=10，AD=6 ，当△CEF是直角三角形时，则BD的长为 ．
【答案】2或2
【解析】如图，当∠CFE＝90°时，
∵△ABC与△ADE都是以A为直角顶点的等腰直角三角形，
∴∠ADE=45°
∵∠BAC＝∠AFD=90°，
∴∠GAF=45°，
∴∠BAD＝∠ADE＝45°，
∴AD平分∠BAC，
∴AD⊥BC，
∴△ABG是等腰直角三角形，
∵AB＝10，
∴2AG2＝BA2，
∴
∴；
在Rt△BDG中，
；
当∠FEC＝90°，过A作AG⊥DE于G，
∵△DAE是等腰直角三角形，
∴∠ADE＝∠AED＝45°，
∴∠AEC＝∠ADB＝45°＋90°＝135°，
∴∠ADB＋∠ADE＝135°＋45°＝180°，
∴B、D、E共线，
∵△ADE是等腰直角三角形，
∴2AG2＝AD2
解之：AG=DG=6
设BD＝x，则BG=6+x，
AB2＝BG2＋AG2即102＝62＋（6＋x）2，
x＝2（取正）
∴BD＝2，
∴BD的长为或2.
三、解答题（本题有8小题，第17～19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题12分，共66分）
解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
17．如图，在四边形ABCD中，AB＝AD＝20，BC＝DC＝10 .
（1）求证：△ABC≌△ADC；
（2）当∠BCA＝45°时，求∠BAD的度数.
【答案】（1）证明：在△ABC和△ADC中，
∵ ∴△ABC≌△ADC（SSS）.
（2）解：连接BD，交AC于点O，
∵△ABC≌△ADC，
∴AB=AD，BC=DC，
∴AC垂直平分BD，即：∠AOB=∠BOC=90°，
又∵∠BCA＝45°，
∴ 是等腰直角三角形，
∴BO=BC÷ =10 ÷ =10，
∴BD=2BO=20，
∵AB＝AD＝20，
∴ 是等边三角形，
∴∠BAD=60°.
18．如图，CD＝BE，DG⊥BC，EF⊥BC，垂足分别为G，F，且DG＝EF.
（1）求证：OB＝OC；
（2）若∠B＝30°，判断△ADO的形状，并说明理由.
【答案】（1）证明：∵DG⊥BC，EF⊥BC，
∴∠DGC＝∠EFB＝90°，
在Rt△EFB和Rt△DGC中， ，∴Rt△EFB≌Rt△DGC（HL），
∴∠B＝∠C，
∴OB＝OC；
（2）解：△ADO是等边三角形，理由如下：
∵∠B＝30°＝∠C，DG⊥BC，
∴∠D＝60°＝∠BAG，
∴∠D＝∠DAO＝60°，
∴△ADO是等边三角形.
19．如图，在△ABC中，AB＝AC，D为CA延长线上一点，DE⊥BC于点E，交AB于点F.
（1）求证：△ADF是等腰三角形.
（2）若AF＝BF＝ ，BE＝2，求线段DE的长.
【答案】（1）证明：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∵DE⊥BC，
∴∠B+∠BFE＝∠C+∠D＝90°，
∴∠D＝∠BFE，
∵∠BFE＝∠DFA，
∴∠D＝∠DFA，
∴AD＝AF，
∴△ADF是等腰三角形
（2）解：过A作AH⊥DE于H，
∵DE⊥BC，
∴∠AHF＝∠BEF＝90°，
由（1）知，AD＝AF，∴DH＝FH，
在△AFH和△BFE中， ，∴△AFH≌△BFE（AAS），
∴FH＝EF，∴DH＝FH＝EF，
在Rt△BEF中，
∵BF＝ ，BE＝2，
∴EF＝ ＝3，
∴DE＝3EF＝9.
20．如图， ABC的外角∠DAC的平分线交BC边的垂直平分线于P点，PD⊥AB于D，PE⊥AC于E．
（1）求证：BD＝CE；
（2）若AB＝6cm，AC＝10cm，求AD的长．
【答案】（1）证明：连接 、 ，
点 在 的垂直平分线上，
，
是 的平分线，
，
在 和 中， ， ，
；
（2）解：在 和 中，
， ， ，
， ，
，
即 ，
解得 ．
21．如图，折叠一张三角形纸片ABC，使点A落在BC边上的点F，且折痕DE∥BC，连结AF.
（1）试判断△ACF的形状；
（2）若AC＝13，AB＝20，BC＝21，求CF的长.
【答案】（1）解：△ACF是直角三角形，理由如下：
∵折叠一张三角形纸片ABC，使点A落在BC边上的点F，
∴DE是线段AF的垂直平分线，即DE⊥AF，
∵DE∥BC，∴BC⊥AF，∴∠AFC＝90°，
∴△ACF是直角三角形
（2）解：设CF＝x，则BF＝21﹣x，
在Rt△ACF中，AF2＝AC2﹣CF2＝132﹣x2，
在Rt△ABF中，AF2＝AB2﹣BF2＝202﹣（21﹣x）2，
∴132﹣x2＝202﹣（21﹣x）2，
解得x＝5，
∴CF＝5.
22．如图，在△ABC中，中线BE，中线AD.
（1）若CD＝4，CE＝3，AB＝10，求证：∠C＝90°；
（2）若∠C＝90°，AD＝6，BE＝8，求AB的长.
【答案】（1）证明：∵BE、AD是△ABC的中线，
∴AC=2CE，BC=2CD，
∵CD＝4，CE＝3，
∴AC=6，BC=8，又AB=10，
∴AC2+BC2=AB2，
∴∠C=90°；
（2）解：设CD=x，CE=y，则BC=2x，AC=2y，
在Rt△ACD中，∠C=90°，AD=6，由勾股定理得： ①，
在Rt△BCE中，∠C=90°，BE=8，由勾股定理得： ②，
由①②得：， ，.
在Rt△ABC中，∠C=90°，由勾股定理得：
23．如图， 在Rt ABC 中AB=10，BC⊥AC，P为线段AC上一点，点Q，P 关于直线BC对称，QD⊥AB于点D，DQ与BC交于点 E，连结DP， 设AP=m.
（1）若BC=8，求AC的长，并用含m的代数式表示PQ的长；
（2）在（1）的条件下，若AP=PD.求CP的长：
（3）连结PE， 若∠A=60°， PCE与 PDE的画积之比为1：2，求m的值.
【答案】（1）解：∵Rt ABC 中AB=10，BC⊥AC，BC=8，
∴AC= ，
∵AP=m，
∴PC=6-m，
∵点Q，P 关于直线BC对称，
∴PQ= 2PC=12-2m；
（2）解：∵AP=PD，
∴∠A=∠ADP，
∵QD⊥AB，
∴∠ADP+∠PDQ=∠A+∠AQD=90°，
∴∠PDQ=∠AQD，
∴PD=PQ，
∴AP=PQ=PD，
∴m=12-2m，解得：m=4，
∴CP=6-4=2；
（3）解：∵ PCE与 PDE的面积之比为1：2， PCE的面积和 DCE的面积相等，
∴ PQE和 PDE的面积相等，
∴点E是DQ的中点，即：DE=QE，
∵点Q，P 关于直线BC对称，
∴EP=EQ，
∴EP=EQ=ED，
∴∠EDP=∠EPD，∠EPQ=∠EQP，
∴∠EPD+∠EPQ=180°÷2=90°，即：∠DPQ=90°，
∵∠A=60°，QD⊥AB，
∴∠AQD=30°，∠B=30°，
∴AC= AB=5，
∴AD= AQ= （AP+PQ）= （10-2m+m）=5- m，
∵∠APD=90°，
∴∠ADP=30°，
∴AP= AD= - m，
∴ - m=m，解得：m=2.
24．如图，在△ABC中.
（1）如图①，分别以AB、AC为边作等边△ABD和等边△ACE，连接BE，CD；
①猜想BE与CD的数量关系是▲ ；
②若点M，N分别是BE和CD的中点，求∠AMN的度数；
（2）如图②，若分别以AB、AC为边作△ABD和△ACE，且AD＝AB，AC＝AE，∠DAB＝∠CAE＝α，DC、BE交于点P，连接AP，请直接写出∠APC与α的数量关系
【答案】（1）解：①BE＝CD
②连接AN，如图①所示：
由①得：△ABE≌△ADC（SAS），
∴BE＝CD，∠ABE＝∠ADC，
∵点M，N分别是BE和CD的中点，
∴BM＝DN，
又∵AD＝AB，
∴△ADN≌△ABM（SAS），
∴AN＝AM，∠DAN＝∠BAM，
∴∠BAM+∠BAN＝∠DAN+∠BAN，
即∠MAN＝∠BAD＝60°，
∴△AMN为等边三角形，
∴∠AMN＝60°
（2）解：∠APC＝ ，理由如下：
过A作AM⊥CD于M，AN⊥BE于N，如图②所示：
同②得：△ABE≌△ADC（SAS），△ADM≌△ABN（SAS），
∴∠AEB＝∠ACD，AM＝AN，
∵AM⊥CD，AN⊥BE，
∴PA平分∠DPE，
∴∠APE＝ ∠DPE，
又∵∠EPC+∠ACD＝∠CAE+∠AEB，
∴∠EPC＝∠CAE＝α，
∴∠DPE＝180°﹣α，
∴∠APE＝ （180°﹣α）＝90°﹣ α，
∴∠APC＝∠APE+∠EPC＝90°﹣ α+α＝90°+ α.
【解析】（1）①BE＝CD，理由如下：
∵△ABD和△ACE是等边三角形，
∴AB＝AD，∠BAD＝∠CAE＝60°，AC＝AE，
∴∠CAE+∠BAC＝∠BAD+∠BAC，
即∠BAE＝∠DAC，
∴△ABE≌△ADC（SAS），
∴BE＝CD.
故答案为：BE＝CD；
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浙教版2023-2024学年八上数学第1、2章综合培优复习卷1
考试时间：120分钟 满分：120分
一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）
下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.
1．“致中和，天地位焉，万物育焉.”对称美是我国古人和谐平衡思想的体现，常被运用于建筑、器物、绘画、标识等作品的设计上，使对称之美惊艳了千年的时光.在下列与扬州有关的标识或简图中，不是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．已知线段 a＝2cm，b＝4cm，则下列长度的线段中，能与 a，b组成三角形的是（ ）
A．2cm B．4cm C．6cm D．8cm
3．如图，△AOB≌△ADC，点B和点C是对应顶点，∠O＝∠D＝90°，若∠OAD＝64°，当BC∥OA时，∠ABO的度数为（ ）
A．26° B．32° C．36° D．38°
（第3题） （第6题） （第7题） （第8题）
4．下列说法正确的是（ ）
A．顶角相等的两个等腰三角形全等 B．有一个角是60°的三角形是等边三角形
C．等腰三角形两底角相等 D．等腰三角形的高、中线、角平分线互相重合
5．下列条件中，不能判定△ABC是直角三角形的是（ ）
A．a：b：c＝5：12：13 B．b2＝（a+c）（a﹣c）
C．∠C＝∠A﹣∠B D．∠A：∠B：∠C＝3：4：5
6．如图，直线L上有三个正方形a，b，c，若a，c的面积分别为1和9，则b的面积为（
A．8 B．9 C．10 D．11
7．如图，△ABC是等边三角形，AB＝10，点D是BC边上任意一点，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，则BE+CF的长是（ ）
A．5 B．6 C．8 D．10
8．如图，△ABC与△CED均为等边三角形，且B，C，D三点共线.线段BE，AD相交于点O，AF⊥BE于点F.若OF＝1，则AF的长为（ ）
A．1 B． C． D．2
9．如图，已知△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC，三角形的顶点在相互平行的三条直线l1，l2，l3上，且l1，l2之间的距离为2，l2，l3之间的距离为3，则AC的长是（ ）
A． B． C．4 D．7
（第9题） （第10题）
10．如图，在△ABC中，AD是BC边上的高线，CE是AB边上的中线，DG⊥CE于点G，CD＝AE.若BD＝8，CD＝5，则△DCG的面积是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分）
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.
11．若等腰三角形一个内角的度数为50°，则它的顶角的度数是 .
12．在Rt△ABC中，两直角边的边长分别为3和4，则其斜边上的高为 .
13．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，CD＝3cm，则点D到AB边的距离为 .
（第13题） （第14题） （第15题） （第16题）
14．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AC＝3，AD是△ABC的角平分线，点P在AB上，且PD＝PB，则PD＝ .
15．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，点D在边AB上，AD＝AC，AE⊥CD，垂足为F，与BC交于点E，则BE的长是 .
16．如图，△ABC与△ADE都是以A为直角顶点的等腰直角三角形，DE交AC于点F，若AB=10，AD=6 ，当△CEF是直角三角形时，则BD的长为 ．
三、解答题（本题有8小题，第17～19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题12分，共66分）
解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
17．如图，在四边形ABCD中，AB＝AD＝20，BC＝DC＝10 .
（1）求证：△ABC≌△ADC；
（2）当∠BCA＝45°时，求∠BAD的度数.
18．如图，CD＝BE，DG⊥BC，EF⊥BC，垂足分别为G，F，且DG＝EF.
（1）求证：OB＝OC；
（2）若∠B＝30°，判断△ADO的形状，并说明理由.
19．如图，在△ABC中，AB＝AC，D为CA延长线上一点，DE⊥BC于点E，交AB于点F.
（1）求证：△ADF是等腰三角形.
（2）若AF＝BF＝ ，BE＝2，求线段DE的长.
20．如图， ABC的外角∠DAC的平分线交BC边的垂直平分线于P点，PD⊥AB于D，PE⊥AC于E． （1）求证：BD＝CE；
（2）若AB＝6cm，AC＝10cm，求AD的长．
21．如图，折叠一张三角形纸片ABC，使点A落在BC边上的点F，且折痕DE∥BC，连结AF.
（1）试判断△ACF的形状；
（2）若AC＝13，AB＝20，BC＝21，求CF的长.
22．如图，在△ABC中，中线BE，中线AD.
（1）若CD＝4，CE＝3，AB＝10，求证：∠C＝90°；
（2）若∠C＝90°，AD＝6，BE＝8，求AB的长.
23．如图， 在Rt ABC 中AB=10，BC⊥AC，P为线段AC上一点，点Q，P 关于直线BC对称，QD⊥AB于点D，DQ与BC交于点 E，连结DP， 设AP=m.
（1）若BC=8，求AC的长，并用含m的代数式表示PQ的长；
（2）在（1）的条件下，若AP=PD.求CP的长：
（3）连结PE， 若∠A=60°， PCE与 PDE的画积之比为1：2，求m的值.
24．如图，在△ABC中.
（1）如图①，分别以AB、AC为边作等边△ABD和等边△ACE，连接BE，CD；
①猜想BE与CD的数量关系是▲ ；
②若点M，N分别是BE和CD的中点，求∠AMN的度数；
（2）如图②，若分别以AB、AC为边作△ABD和△ACE，且AD＝AB，AC＝AE，∠DAB＝∠CAE＝α，DC、BE交于点P，连接AP，请直接写出∠APC与α的数量关系
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