卷子答案网-一个不只有答案的网站2023年中考九年级数学高频考点 专题训练--反比例函数与一次函数
1．如图，一次函数y=﹣x+4的图象与反比例函数y= （k为常数，且k≠0）的图象交于A（1，a），B（3，b）两点．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）在x轴上找一点P，使PA+PB的值最小，求满足条件的点P的坐标；
（3）求△PAB的面积．
2．如图，在平面直角坐标系中，反比例函数y= 的图象与一次函数y=ax+b的图象交于点A（﹣2，3）和点B（m，﹣2）．
（1）求反比例函数和一次函数的解析式；
（2）直线x=1上有一点P，反比例函数图象上有一点Q，若以A、B、P、Q为顶点的四边形是以AB为边的平行四边形，直接写出点Q的坐标．
3．如图，直线 y=﹣x+2 与反比例函数 y=（k≠0）的图象交于 A（a，3）、B（3，b）两点，直线 AB 交 y 轴于点 C、交 x 轴于点 D．
（1）请直接写出 a= ，b= ，反比例函数的解析式为 ．
（2）在 x 轴上是否存在一点 E，使得∠EBD=∠OAC，若存在请求出点 E 的坐标， 若不存在，请说明理由．
（3）点P 是 x 轴上的动点，点 Q 是平面内的动点，是以 A、B、P、Q 为顶点的四边形是矩形，若存在请求出点 Q 的坐标，若不存在请说明理由．
4．如图，直线 与反比例函数 交于点 ，与 轴交于点 ，连接 ， .
（1）求点 的坐标及 的值；
（2）过 轴正半轴上一点 作 轴的垂线与直线 与反比例函数 的图象分别交于点 两点.
①当 时，求 的长；
②若以 为顶点的四边形为平行四边形，求 的值；
（3）直线 与直线 反比例函数 的图象分别交于 ，若 ，直接写出 的取值范围.
5．在平面直角坐标系中，若直线 与函数G的图象有且只有一个交点P.则称该直线l是函数G关于点P的“联络直线”，点P称为“联络点”.
（1）直线 是函数 的“联络直线”吗？请说明理由；
（2）已知函数 ，求该函数关于“联络点” 的“联络直线”的解析式；
（3）若关于x的函数 图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点P是y轴上一点，分别过点P作函数 关于点M，N的“联络直线”PM、PN.若直线 恰好经过M、N两点，请用含a的式子表示线段PC的长.
6．已知一次函数y=k1x+b与反比例函数y= 的图象交于第一象限内的P（ ，8），Q（4，m）两点，与x轴交于A点．
（1）分别求出这两个函数的表达式；
（2）写出点P关于原点的对称点P'的坐标；
（3）求∠P'AO的正弦值．
7．如图，一次函数与反比例函数（k≠0）交于点A、B两点，且点A的坐标为（1，3），一次函数与轴交于点C，连接OA、OB.
（1）求一次函数和反比例函数的表达式；
（2）求点B的坐标及的面积；
（3）过点A作轴的垂线，垂足为点D.点M是反比例函数第一象限内图象上的一个动点，过点M作轴的垂线交轴于点N，连接CM.当与Rt△CNM相似时求M点的坐标.
8．如图，一次函数y＝kx+b（k≠0）与反比例函数交于（4，），B（1，2），AC⊥x轴于点C，BD⊥y轴于点D．
（1）根据图象直接回答：在第一象限内，当x取何值时，一次函数值大于反比例函数值；
（2）求一次函数的解析式及m的值；
（3）P是线段AB上的一点，连接PC，PD，若△BDP∽△ACP，求点P的坐标．
9．如图，反比例函数y= 的图象与一次函数y=kx+b的图象交于A，B两点，点A的坐标为（2，6），点B的坐标为（n，1）．
（1）求反比例函数与一次函数的表达式；
（2）点E为y轴上一个动点，若S△AEB=10，求点E的坐标．
10．如图，点P为函数y＝x+1与函数y＝（x＞0）图象的交点，点P的纵坐标为4，PB⊥x轴，垂足为点B．
（1）求m的值；
（2）点M是函数y＝（x＞0）图象上一动点（不与P点重合），过点M作MD⊥AP于点D，若∠PMD＝45°，求点M的坐标．
11．如图，点 ， 在反比例函数图象上， 轴于点 ， 轴于点 ， ．
（1）求 ， 的值并写出反比例函数的表达式；
（2）连接 ， 是线段 上一点，过点 作 轴的垂线，交反比例函数图象于点 ，若 ，求出点 的坐标．
12．如图，反比例函数y＝ （x＞0）的图象与Rt△OAB的两边OA，AB分别交于C，D两点，∠OBA＝90°，点B坐标为（2，0），且BD：OB＝1：2，BD：AD＝1：3，连接CD，DO．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）求点C的坐标；
（3）将△OCD先沿x轴的正方形平移3个单位长度，再沿y轴的正方向平移3个单位长度，得到△O′C′D′，要使反比例函数y＝ （x＞0）的图象与△O′C′D′有公共点，请直接写出m的取值范围．
13．如图，正方形OAPB、ADFE的顶点A、D．B在坐标轴上，点B在AP上，点P、F在函数 上,已知正方形OAPB的面积是9.
（1）求k的值和直线OP的解析式;
（2）求正方形ADFE的边长
（3）函数 在第三象限的图像上是否存在一点Q，使得△ABQ的面积为10.5？若存在，求出Q点坐标；若不存在，请说明理由.
14．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线l：y＝ x与反比例函数y＝ （x＞0）的图象交于点A(2，a)．
（1）求a，k的值；
（2）横，纵坐标都是整数的点叫做整点．点P(m，n)为射线OA上一点，过点P作x轴，y轴的垂线，分别交函数y＝ （x＞0）的图象于点B，C．由线段PB，PC和函数y＝ （x＞0）的图象在点B，C之间的部分所围成的区域（不含边界）记为W．
①若PA＝OA，求区域W内的整点个数；
②若区域W内恰有5个整点，结合函数图象，直接写出m的取值范围．
15．如图，一次函数 的图象与y轴的正半轴交于点A，与反比例函数 的图像交于 两点．以 为边作正方形 ，点B落在x轴的负半轴上，已知 的面积与 的面积之比为 ．
（1）求一次函数 的表达式：
（2）求点P的坐标及 外接圆半径的长．
16．如图，在直角坐标系中，直线 与反比例函数 的图像交于关于原点对称的 ， 两点，已知 点的纵坐标是3.
（1）求反比例函数的表达式；
（2）根据图像直接写出 的解集；
（3）将直线 向上平移后与反比例函数在第二象限内交于点 ，如果 的面积为36，求平移后的直线的函数表达式.
答案解析部分
1．【答案】（1）解：把点A（1，a）代入一次函数y=﹣x+4，
得a=﹣1+4，
解得a=3，
∴A（1，3），
点A（1，3）代入反比例函数y= ，
得k=3，
∴反比例函数的表达式y=
（2）解：把B（3，b）代入上式子得，
∴点B坐标（3，1）；
作点B作关于x轴的对称点D，交x轴于点C，连接AD，交x轴于点P，此时PA+PB的值最小，
∴D（3，﹣1），
设直线AD的解析式为y=mx+n，
把A，D两点代入得 ，
解得m=﹣2，n=5，
∴直线AD的解析式为y=﹣2x+5
令y=0，得x= ，
∴点P坐标（ ，0）
（3）解：S△PAB=S△ABD﹣S△PBD= ×2×2﹣ ×2× =2﹣ =1.5．
2．【答案】（1）解：∵点A（﹣2，3）在反比例函数y= 的图形上，
∴k=﹣2×3=﹣6，
∴反比例函数的解析式为y=﹣ ，
∵点B在反比例函数y=﹣ 的图形上，
∴﹣2m=﹣6，
∴m=3，
∴B（3，﹣2），
∵点A，B在直线y=ax+b的图象上，
∴ ，
∴ ，
∴一次函数的解析式为y=﹣x+1
（2）解：∵以A、B、P、Q为顶点的四边形是以AB为边的平行四边形，
∴AB=PQ，AB∥PQ，
设直线PQ的解析式为y=﹣x+c，
设点Q（n，﹣ ），
∴﹣ =﹣n+c，
∴c=n﹣ ，
∴直线PQ的解析式为y=﹣x+n﹣ ，
∴P（1，n﹣ ﹣1），
∴PQ2=（n﹣1）2+（n﹣ ﹣1+ ）2=2（n﹣1）2，
∵A（﹣2，3）．B（3，﹣2），
∴AB2=50，
∵AB=PQ，
∴50=2（n﹣1）2，
∴n=﹣4或6，
∴Q（﹣4. ）或（6，﹣1）
3．【答案】（1）﹣1；﹣1；﹣3
（2）解：如图 1 中，连接 OB．
∵A（﹣1，3），B（3，﹣1），
∴OA=OB= ，
∴∠OAC=∠OBD，
∴当点 E 与 O 重合时，∠EBD=∠OAC，此时 E（0，0）．作 BE′∥OA，则∠E′BD=∠OAC，
由题意 D（2，0），
∴AD= =3，BD= = ，
∵ BE′∥OA，
∴
∴，
∴DE′=
∴OE′= ，
∴E′（，0），
综上所述，满足条件的点 E 坐标为（0，0）或（，0）．
（3）解：存在．如图 2 中：
①当四边形 AP1Q1B 是矩形时，易知 P1（﹣4，0），
点 B（3，﹣1）向左平移 3 个单位，向下平移 3 个单位得到 Q1（0，﹣4）；
②当四边形 BP2Q2A 是矩形时，P2（4，0），
点 A（3．﹣1）向右平移一个单位，向上平移一个单位得到 Q2（0，4）．
③当 AB 是矩形的对角线时，设 AB 的中点为 R（1，1），设 P3（m，0），
∵RP=2，
∴（1﹣m）2+12=（2 ）2，
∴m=1+ 或 1﹣，
∴P3（1﹣，0），P4（1+，2），
∴Q3（1+，2），Q4（1﹣，2），
综上所述，满足条件的点 Q 坐标为（0，﹣4）或（0，4）或（1+，2）或（1-，2）．
4．【答案】（1）解： 由题意可设点A的坐标为（a，a-3），又因为 ，
∴ ，
解得：a=4或a=-1（舍去），
∴点A的坐标为（4，1），
将点A（4，1）代入反比例函数 ，得： ，
解得：k=4.
（2）解： 如图，①当 时，
由题意可知：点C，点D的纵坐标都是2，
分别代入直线 与反比例函数 ，可得：
点C、点D的坐标分别为C（5，2），D（2，2），
所以CD=3.
②∵直线 与 轴交于点 ，
∴点B的坐标为B（3，0），
即OB=3
由题意可知：点C，点D的坐标为C（3+t，t）， ，CD=OB=3，
当点C在点D的右侧时， ，
解得： ， ；
当点C在点D的左侧时， ，
解得： ，
又∵点 在y轴正半轴，即t 0，
∴综上所述 或 .
（3）解： 如图，分别过点P，Q作 轴， 轴，
则 ， ，
∵ ，
∴有QF>PE，
∵直线 与直线 反比例函数 的图象分别交于 ，
∴ ，
则分别联立 和 ，
解得：点P的纵坐标为 ，点Q的纵坐标为 ，
∴ ，即 ，
解得： 或 ，
综上所述： 的取值范围 或 .
5．【答案】（1）解：由题意得 ，整理得 ，
∵ ＜0，
∴直线 与函数 没有交点，
∴直线 不是函数 的“联络直线”
（2）解：设“联络直线”的解析式为 ，
，整理可得 ，
∵直线 与函数G的图象有且只有一个交点P
∴ ，
∴ ；
把“联络点” 代入 得 ，
解得 ，进而可得 ，
∴“联络直线”的解析式为 ；
（3）解：由 ，令x = 0，可得 ，
∴点C为 ；
∵点M，N在函数 ，直线 恰好经过M、N两点
∴ ，
∴
∴ ， ；
设P ， ，
则 ， ，
∴ ，
即 ，
∴
即 ，
∴ ， ，
∴ ， ，
整理可得 ，
∴ .
6．【答案】（1）解：∵点P在反比例函数的图象上，
∴把点P（ ，8）代入 可得：k2=4，
∴反比例函数的表达式为 ，
∴Q （4，1）．
把P（ ，8），Q （4，1）分别代入y=k1x+b中，
得 ，
解得 ，
∴一次函数的表达式为y=﹣2x+9
（2）解：点P关于原点的对称点P'的坐标为（ ，﹣8）
（3）解：过点P′作P′D⊥x轴，垂足为D．
∵P′（ ，﹣8），
∴OD= ，P′D=8，
∵点A在y=﹣2x+9的图象上，
∴点A（ ，0），即OA= ，
∴DA=5，
∴P′A= ，
∴sin∠P′AD= ，
∴sin∠P′AO= ．
7．【答案】（1）解：把代入一次函数得：，
解得：，
∴一次函数表达式为，
把代入反比例函数得：，即，
∴反比例函数表达式为；
（2）解：，
解得：或，
∴，
令代入得：，
∴，
∴；
（3）解：①当时，，
，，，，
∴，即，
解得：，，
∵M在第一象限，
∴，，
∴，
②当时，，
∴，即，
解得：，，
∵M在第一象限，
∴，，
∴，
综上，当与相似时，M点的坐标为或.
8．【答案】（1）解：因为一次函数y＝kx+b（k≠0）与反比例函数交于（4，），B（1，2），
根据图象可知，当1＜x＜4时，一次函数的值大于反比例函数的值；
（2）解：把、代入一次函数得，
，解得，，，
∴一次函数的关系式为y＝﹣0.5x+2.5
把代入反比例函数得，，
答：一次函数表达式为y＝﹣0.5x+2.5，m的值为2．
（3）解：过点分别作轴的垂线，垂足分别为，如图，
由、可知，，，
∵△BDP∽△ACP，
，
设点的横坐标为，则，解得
∴点P的横坐标为3，纵坐标为﹣0.5×3+2.5＝1，
答：点P的坐标为（3，1）
9．【答案】（1）解：把点A（2，6）代入y= ，得m=12，
则y= ．
把点B（n，1）代入y= ，得n=12，
则点B的坐标为（12，1）．
由直线y=kx+b过点A（2，6），点B（12，1）得
，
解得 ，
则所求一次函数的表达式为y=﹣ x+7
（2）解：如图，直线AB与y轴的交点为P，设点E的坐标为（0，m），连接AE，BE，
则点P的坐标为（0，7）．
∴PE=|m﹣7|．
∵S△AEB=S△BEP﹣S△AEP=10，
∴ ×|m﹣7|×（12﹣2）=10．
∴|m﹣7|=2．
∴m1=5，m2=9．
∴点E的坐标为（0，5）或（0，9）．
10．【答案】（1）解：∵点P为函数y=x+1图象的点，点P的纵坐标为4，
∴4=x+1，解得：x=6，
∴点P（6，4），
∵点P为函数y=x+1与函数y=（x＞0）图象的交点，
∴4=，
∴m=24；
（2）解：由（1）可得反比例函数解析式为
∵∠PMD＝45°，MD⊥AP
∴△PDM是等腰直角三角形
∴DP=DM
过D作EF平行x轴，过P作PE⊥EF于E，过M作MF⊥EF于F，交x轴于N
∴
∴(AAS)，
∴DE=FM，EP=DF
∵PB⊥x轴，
∴E、P、B三点共线
∴四边形EBNF是矩形
设点D的坐标（a，a+1）
当M在AP右边时，a>6，如图
∵点P（6，4）
∴
∴
∴
∴M的坐标为
∵M在上
∴，解得或（舍去）
此时M点坐标为（12，2）
当M在AP左边时，，如图
∵点P（6，4）
∴
∴
∴
∴M的坐标为
∵M在上
∴，解得（舍去）或（舍去）
综上所述，M点坐标为（12，2）
11．【答案】（1）解：设反比例函数的解析式为 ， 把 代入得： ， 即 ， ∵点 ， 在反比例函数图象上， 轴于点 ， 轴于点 ， ， ∴ ， 解得： ， ， 即 ， ； 反比例函数的解析式为：
（2）解：设直线 的解析式为 ，把 和 代入得： ，解得： ， ，即直线 的解析式为： ，设 点的横坐标为 ，则 ， ，
∴ ，∵ ，
∴ ，解得： m1=2 ， ，
经检验都是原方程的解， 即 的坐标为 或
12．【答案】（1）解：D的坐标是（2，1），代入y＝ ，得：k＝2，
则函数的解析式是y＝
（2）解：设直线OA的解析是y＝kx，把A（2，4）代入得：k＝2，
则解析式是y＝2x．
根据题意得： ，
解得： 或 （舍去）．
则C的坐标是（1，2）
（3）解：O'、C'、D'的坐标分别是（3，3），（4，5）和（5，4）．
当反比例函数y＝ 经过点（3，3）时，m最小，最小值是9．
经过点（4，5）和（5，4）直线是y＝kx+b．
则 ，
解得： ，
则解析式是y＝﹣x+9．
根据题意得：﹣x+9＝ ，即x2﹣9x+m＝0，
△＝81﹣4m＝0，
解得：m＝ ．
则m的范围是：9≤m≤
13．【答案】（1）解：∵正方形OAPB的面积为9，
∴PA=PB=3，
∴P点坐标为（3，3），
把P（3，3）代入 得，k=3×3=9，
即 ；
设直线OP的解析式为y=k1x，
把P（3，3）代入y=k1x得，k1=1，
∴直线OP的解析式为y=x；
（2）解：设正方形ADFE的边长为a，则F点的坐标为（a+3，a），
把F（a+3，a）代入 得，a（a+3）=9，解得a1= ，a2= ，
∴正方形ADFE的边长为得 ；
（3）解：∵P（3，3）且四边形AOBP是正方形，
∴AO=BO=3，
设Q（x， ）（x＜0），连接QO，QB，QA，AB，如图所示，
假定△ABQ的面积为10.5，则有，
S△BOQ+S△AOQ+S△AOB=10.5
即，
∵x＜0
∴方程整理得，
∵△=
∴此方程无实数解，
故函数 在第三象限的图像上不存在一点Q，使得△ABQ的面积为10.5
14．【答案】（1）解：∵直线 与反比例函数 的图象交于点
∴
∴
将 代入反比例函数 得
解得
（2）解：①∵点P为射线OA上一点，且
∴A为OP中点
∵
，解得
∴点P的坐标为
将 代入 得
将 代入 得 ，解得
∵如图，PB，PC分别垂直于x轴和y轴
∴
结合函数图象可知，区域W内有5个整点；
② 在射线OA上
由题意，分以下两种情况：
如图，当点P在点A下方时
结合函数图象得： ，即
解得
如图，当点P在点A上方时
结合函数图象得： ，即
解得
综上，当 或 时，区域W内恰有5个整点．
15．【答案】（1）解：过D点作DE∥y轴交x轴于H点，过A点作EF∥x轴交DE于E点，过B作BF∥y轴交EF于F点，如下图所示：
∵ 与 有公共的底边BO，其面积之比为1：4，
∴DH：OA=1：4，
设 ，则 ，
∵ABCD为正方形，
∴AB=AD，∠BAD=90°，
∴∠BAF+∠EAD=90°，
∵∠BAF+∠FBA=90°，
∴∠FBA=∠EAD，
在△ABF和△DAE中： ，
∴△ABF≌△DAE(AAS)，
∴
又 ，
∴ ，解得 (负值舍去)，
∴ ，代入 中，
∴ ，解得 ，
∴一次函数的表达式为 ；
（2）解：联立一次函数与反比例函数解析式： ，
整理得到： ，
解得 ， ，
∴点P的坐标为 ；D点的坐标为（4，1）
∵四边形ABCD为正方形，
∴ ，
且 ，
在 中，由勾股定理： ，
∴ ，
又△CPD为直角三角形，其外接圆的圆心位于斜边PC的中点处，
∴△CPD外接圆的半径为 ．
16．【答案】（1）解：令一次函数 中 ，则 ，
解得： ，即点 的坐标为 .
点 在反比例函数 的图象上，
，
反比例函数的表达式为 .
（2）解：解方程组：
解得： 或 ，则 ，
当 或 时， ，
即 的解集为 或 ；
（3）解：设平移后直线于 轴交于点 ，连接 、 如图所示，
设平移后的解析式为 ，
该直线平行直线 ，
，
的面积为36，
，
由对称性可知： ，
，
，
，
.
平移后的直线的函数表达式为 .
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