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专题17 函数的图象和性质
1．（2023·山东威海二模）函数的图像大致为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由，排除A，D．当时，，所以，排除C．故选B．
2．（2023·河南新乡·统考二模）定义在上的函数满足，且为偶函数，当时，，则（ ）
A．0 B． C． D．1
【答案】A
【解析】因为，所以的周期为4．
又为偶函数，所以的图象关于直线对称，
则．
故选：A.
3．（2023·四川成都·四川省成都市玉林中学校考模拟预测）若不等式在上有解，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为关于的不等式在区间上有解，
所以在区间上有解，
设，，其中在区间上单调递减，
所以有最小值为，
所以实数的取值范围是．
故选：C．
4．（2023·浙江杭州·模拟预测）设，则“”是“函数在为减函数”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
【答案】B
【解析】由题意可得为减函数，
则，解得.
因为推不出，，
所以“”是“函数在为减函数”的必要不充分条件，
故选：B
5．（2023·四川成都·统考二模）若函数满足，且当时，，则（ ）
A．－1 B． C．0 D．
【答案】B
【解析】依题意，因为，所以，
所以，所以函数的周期为4，
所以.
又因为，所以，
当时，，所以，
所以.
故选：B.
6．（2023·山西·统考模拟预测）十九世纪德国数学家狄利克雷提出了“狄利克雷函数”它在现代数学的发展过程中有着重要意义，若函数，则下列实数不属于函数值域的是（ ）
A．3 B．2 C．1 D．0
【答案】C
【解析】由题意可知
所以，，，而无解.
故选：C.
7．（2023·河南郑州·统考二模）若函数的部分图象如图所示，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由图象知，的两根为2，4，且过点，
所以，解得，
所以，
所以，
故选：A
8．（2023·江西九江·统考二模）定义在上的奇函数在上单调递增，且，则关于x的不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】因为函数是定义在上的奇函数，且在上单调递增，
所以在上单调递增，且，，
可画出其大致图像，如图所示，
因为，
所以当时，，解得，
当时，，解得，
当时，显然不合题意，
所以不等式的解集为，
故选：A．
9．（2023·江西南昌·统考二模）已知函数，若对于任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】易知是奇函数且单调递增，
故原不等式等价于
即
所以，
所以在任意的上恒成立，故.
故选：D
10．（2023·山东潍坊二模）定义在R上的函数满足，①对于互不相等的任意，都有，且当时，，②对任意恒成立，③的图象关于直线对称，则 的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】因为的图象关于直线对称，则函数关于轴对称，
所以函数为上的偶函数，
又因为对任意恒成立，则函数的周期为4，
又因为对于互不相等的任意，都有，
且当时，，所以对任意，则，
故有，所以函数在上单调递增，
则有，，，因为函数在上单调递增，
则，即，
故选：B.
11．（多选题）（2023·安徽合肥·合肥市第十中学校考模拟预测）下列说法不正确的是（ ）
A．函数在定义域内是减函数
B．若是奇函数，则一定有
C．已知函数在上是增函数，则实数的取值范围是
D．若的定义域为，则的定义域为
【答案】ABC
【解析】函数在和上都是减函数，但在定义域上不是减函数，故A不正确；
当是奇函数时，可能无意义，比如，故B不正确；
因为是增函数，所以，解得，故C不正确；
因为的定义域为，所以，
解得，即的定义域为，故D正确.
故选：ABC.
12．（2023·海南海口·校考模拟预测）已知定义在上的函数在上单调递增，且为偶函数，则（ ）
A．的对称中心为
B．的对称轴为直线
C．
D．不等式的解集为
【答案】BCD
【解析】因为为偶函数，所以，
所以图象关于直线对称，故A错误，B正确；
又在上单调递增，所以在上单调递减，
所以，故C正确；
由不等式结合的对称性及单调性，得，
即，即，解得或，
所以不等式的解集为，故D正确，
故选：BCD．
13．（多选题）（2023·湖南·湖南师大附中校联考模拟预测）已知定义在上的函数满足，且为偶函数，则下列说法一定正确的是（ ）
A．函数的周期为2 B．函数的图象关于对称
C．函数为偶函数 D．函数的图象关于对称
【答案】BC
【解析】依题意，上的函数，，则，函数的周期为4，A错误；
因为函数是偶函数，则，函数的图象关于对称，
且，即，函数图象关于对称，B正确；
由得，则函数为偶函数，C正确；
由得，由得，
因此，函数的图象关于对称，D错误.
故选：BC
14.（多选题）（2023·云南昆明·昆明市第三中学校考模拟预测）已知函数的定义域为R，且对任意，都有，且当时，恒成立，则（ ）
A．函数是R上的减函数 B．函数是奇函数
C．若，则的解集为 D．函数()+为偶函数
【答案】ABC
【解析】设，且，，则，
而
，
又当时，恒成立，即，，
函数是R上的减函数，A正确；
由，
令可得，解得，
令可得，即，而，
，而函数的定义域为R，
故函数是奇函数，B正确；
令可得，解得，
因为函数是奇函数，所以，
由，可得，
因为函数是R上的减函数，所以，C正确；
令，易知定义域为R，
因为，显然不恒成立，所以不是偶函数，D错误.
故选：ABC.
14．（多选题）（2023·山东临沂预测）已知函数，的定义域均为R，是奇函数，是偶函数，且，，则（ ）．
A．为奇函数 B．4为的一个周期
C． D．
【答案】BD
【解析】对于A：∵是偶函数，则函数关于直线对称，
∴，由，令，
得，∴，则为偶函数，故A错误；
对于B：由是奇函数可知，，
∴，令，得，
则，又，∴，
令，得，∴，
故4为的一个周期，故B正确；
对于C：由，令，得，
∴，
∴，故C错误；
对于D：由与，令，得，
∴，由得，，
∴
，故D正确．
故选：BD.
16．（2023·陕西商洛·统考二模）请写出一个同时满足以下三个条件的函数：___________.
（1）是偶函数；（2）在上单调递增；（3）的最小值是2.
【答案】（答案不唯一）
【解析】由为偶函数，在上单调递增，最小值为，满足要求.
17．（2023·上海闵行·上海市七宝中学校考模拟预测）设函数的定义域为，给出下列命题：
①若对任意，均有，则一定不是奇函数；
②若对任意，均有，则为奇函数或偶函数；
③若对任意，均有，则必为偶函数；
④若对任意，均有，且为上增函数，则必为奇函数；
其中为真命题的序号为__（请写出所有真命题的序号）．
【答案】①③④
【解析】对于①，对任意，均有，则，
但奇函数中，矛盾，所以一定不是奇函数，①正确；
对于②，等价于，
若时满足，
时满足，
则函数在上为非奇非偶函数，②错误；
对于③，对任意，
均有，则，
所以，所以函数必为偶函数，③正确；
对于④，当时，
等价于，
又因为为上增函数，所以，则，
所以，所以必为奇函数，④正确.
18．（2023·四川南充·四川省南部中学校考模拟预测）设与是定义在同一区间上的两个函数， 若对任意， 都有成立， 则称和在上是 “亲密函数”， 区间称为 “亲密区间”．若与在上是 “亲密函数”，则的最大值______
【答案】4
【解析】因为，
若与在上是“亲密函数”，
则，即，即，
解得或，即，
所以的最大值为.
19．（2023·陕西榆林·统考二模）已知函数满足，当时，，若对任意的，都有，则的最大值______．
【答案】5
【解析】时，，其中，，，
在上递减，在上递增，
∴，
由得，
当时，，
上，最小值是，在上，最小值是，
由的定义，在上递减，，
所以当，都有，则的最大值是5.
20．（2023·江苏盐城·校考模拟预测）已知函数的图像关于对称，且，则__________.
【答案】26
【解析】因为的图像关于对称，
所以.
所以，两式相加可得.
故，可得.
故函数的周期为2.
因为，所以.
所以
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专题17 函数的图象和性质
1．（2023·山东威海二模）函数的图像大致为（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·河南新乡·统考二模）定义在上的函数满足，且为偶函数，当时，，则（ ）
A．0 B． C． D．1
3．（2023·四川成都·四川省成都市玉林中学校考模拟预测）若不等式在上有解，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4．（2023·浙江杭州·模拟预测）设，则“”是“函数在为减函数”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
5．（2023·四川成都·统考二模）若函数满足，且当时，，则（ ）
A．－1 B． C．0 D．
6．（2023·山西·统考模拟预测）十九世纪德国数学家狄利克雷提出了“狄利克雷函数”它在现代数学的发展过程中有着重要意义，若函数，则下列实数不属于函数值域的是（ ）
A．3 B．2 C．1 D．0
7．（2023·河南郑州·统考二模）若函数的部分图象如图所示，则（ ）
A． B． C． D．
8．（2023·江西九江·统考二模）定义在上的奇函数在上单调递增，且，则关于x的不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
9．（2023·江西南昌·统考二模）已知函数，若对于任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
10．（2023·山东潍坊二模）定义在R上的函数满足，①对于互不相等的任意，都有，且当时，，②对任意恒成立，③的图象关于直线对称，则 的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
11．（多选题）（2023·安徽合肥·合肥市第十中学校考模拟预测）下列说法不正确的是（ ）
A．函数在定义域内是减函数
B．若是奇函数，则一定有
C．已知函数在上是增函数，则实数的取值范围是
D．若的定义域为，则的定义域为
12．（2023·海南海口·校考模拟预测）已知定义在上的函数在上单调递增，且为偶函数，则（ ）
A．的对称中心为
B．的对称轴为直线
C．
D．不等式的解集为
13．（多选题）（2023·湖南·湖南师大附中校联考模拟预测）已知定义在上的函数满足，且为偶函数，则下列说法一定正确的是（ ）
A．函数的周期为2 B．函数的图象关于对称
C．函数为偶函数 D．函数的图象关于对称
14.（多选题）（2023·云南昆明·昆明市第三中学校考模拟预测）已知函数的定义域为R，且对任意，都有，且当时，恒成立，则（ ）
A．函数是R上的减函数 B．函数是奇函数
C．若，则的解集为 D．函数()+为偶函数
14．（多选题）（2023·山东临沂预测）已知函数，的定义域均为R，是奇函数，是偶函数，且，，则（ ）．
A．为奇函数 B．4为的一个周期
C． D．
16．（2023·陕西商洛·统考二模）请写出一个同时满足以下三个条件的函数：___________.
（1）是偶函数；（2）在上单调递增；（3）的最小值是2.
17．（2023·上海闵行·上海市七宝中学校考模拟预测）设函数的定义域为，给出下列命题：
①若对任意，均有，则一定不是奇函数；
②若对任意，均有，则为奇函数或偶函数；
③若对任意，均有，则必为偶函数；
④若对任意，均有，且为上增函数，则必为奇函数；
其中为真命题的序号为__（请写出所有真命题的序号）．
18．（2023·四川南充·四川省南部中学校考模拟预测）设与是定义在同一区间上的两个函数， 若对任意， 都有成立， 则称和在上是 “亲密函数”， 区间称为 “亲密区间”．若与在上是 “亲密函数”，则的最大值______
19．（2023·陕西榆林·统考二模）已知函数满足，当时，，若对任意的，都有，则的最大值______．
20．（2023·江苏盐城·校考模拟预测）已知函数的图像关于对称，且，则__________.
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