专项训练：数的运算与网格中藏着什么？（含答案）

数的运算专项训练（1）
夯实基础，稳扎稳打
1．计算20210+∣2-tan600∣ 2．计算：(1- )0+|-| - 2cos450+()-1
．
sin300 _ cos450+tan600 4. (2cos450 _ sin600)+
5.计算：2cos300 －tan600+sin450cos450
．
6.计算：(-1)2023+2sin450 - cos300+sin600+tan2600
．
sin 60°·tan 30°+. (8)+|1-cos 30°|-2tan 45°·sin 30°.
9. 在锐角三角形中，|2cosA-1|+()2=0 ,求的值.
10.（1）3x2+5x+1＝0 （2）x2﹣5x+2＝0 （3）2x2+2x+1=0.
连续递推，豁然开朗
1．如图，菱形的对角线相交于点为的中点，，.求的长及的值.
2. 如图，在中，，斜坡的坡度为，为上一点，， .（1）求的长；（2）求的值.
思维拓展，更上一层
1．已知cos45°＝，求cos21°+cos22°+…+cos289°的值．
2.在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A,∠B,∠C的对边分别为a,b,c.
∵sin A=,sin B=,∴c=,c=,∴=.
拓展探究如图(2),在锐角三角形ABC中,∠A,∠B,∠C的对边分别为a,b,c.
请探究,,之间的关系,并写出探究过程.
数的运算专项训练（1）参考答案
1.解：20210+∣2-tan600∣，
2.解：
3.解：原式；
4.解：原式；
5.解：（1）；
6.解：
．
7. 原式=×+=+=1.
(8)原式=-1+1--2×1×=-1.
9.解：在锐角三角形中，，则有，，， . , , ， .
10. (1) a＝3，b＝5，c＝1，△＝25﹣12＝13，x＝，
（2）a＝1，b＝﹣5，c＝2，△＝25﹣8＝17，x＝；
（3）a=2,b=2,c=1,Δ=b2-4ac=(2)2-4×2×1=0,x==-,x1=x2=-.
连续递推，豁然开朗
1.【答案】在菱形中，.
在Rt中，为中点，.
..
2.解：在中，，，，可设，，，解得，（舍去）或，，，，；
[答案]过点作于点，在中，，可设，则，，解得（舍），或，
， .
思维拓展，更上一层
1．解：原式＝（cos21°+cos289°）+（cos22°+cos288°）+…+（cos244°+cos246°）+cos245
＝（sin21°+cos21°）+（sin22°+cos22°）+…+（sin244°+cos244°）+cos245
＝44+（）2＝44．
2.如图,作CD⊥AB于点D,AE⊥BC于点E,在Rt△ABE中,sin B==,
同理得,sin B==,sin∠BAC==,sin∠BCA==,
∴AE=csin B,AE=bsin∠BCA,CD=asin B,CD=bsin∠BAC,∴=,=,
∴==.
拓展探究　如图,作△ABC的外接圆☉O,连接BO并延长,交☉O于点D,连接CD,则∠A=∠D.
设☉O的直径为2r.∵BD是☉O的直径,∴∠BCD=90°.
在Rt△BCD中,sin D=,∴BD=,即2r=.同理可得,=2r,=2r,
故==.
数的运算专项训练（2）
1. 计算：；
2．计算：
．
3．计算：（1）tan45°+cos30°﹣3tan30°；（2）cos245°+2sin30°﹣tan60°+sin245°．
4．计算：
（1）cos30°+sin45°；（2）6tan230°﹣sin 60°﹣2sin 45°．
5．计算：
(1) (－1)2－2cos30°＋＋(－2017)0； (2)＋4sin60°.
6．计算：sin 45°＋cos230° - ＋2sin 60°．
7．已知α、β均为锐角，且满足|sinα- =0，求α+β的值．
8.(1) 3x2-7x+3=0 (2) 2y2+7y-3=0 （3）3y2－11y+9＝0
连续递推，豁然开朗
1．如图，在Rt△ABC中，BC、AC、AB三边的长分别为a、b、c，则sinA＝，cosA＝，tanA＝．我们不难发现：sin260°+cos260°＝1，…试探求sinA、cosA、tanA之间存在的一般关系，并说明理由．
2、在△ABC中，AC⊥BC，∠ABC＝30°，点D是CB延长线上的一点，且BD＝BA，求tan750的值
思维拓展，更上一层
1．如图，在中，对角线交于点O.点M是边的中点，连接，作.已知平分，平分，若，求的值.
数的运算专项训练（2）参考答案
1.解：原式 ;
2.解：．
3．解：（1）tan45°+cos30°﹣3tan30°＝1+﹣3×＝1﹣；
（2）cos245°+2sin30°﹣tan60°+sin245°
＝cos245°++sin245°+2sin30°﹣tan60°＝1+2×﹣＝2﹣．
4．.【详解】解：（1）原式＝×+×＝；
（2）原式＝6×﹣×﹣2×＝．
5．试题解析：(1) 原式＝1－2×＋＋1＝1－＋＋1＝2；
(2) 原式＝＋4×＝－2＋2＝0.
．
7．【详解】由已知得sinα－=0，tanβ－1=0，∴α=30°，β=45°，∴α+β=75°．
8(1) a=3，b＝﹣7，c＝3，Δ=b2-4ac=(-7)2-4×3×3=13>0,x==,x1=,x2=.
2.解：，，
∴，∴，；
（3）a＝3,b＝－11,c＝9,△＝(－11)2－4×3×9＝13，y＝ eq \f(11±,6)
连续递推，豁然开朗
1．解：存在的一般关系有：（1）sin2A+cos2A＝1；（2）tanA＝．
证明：（1）∵sinA＝，cosA＝，a2+b2＝c2，
∴sin2A+cos2A＝＝1．
（2）∵sinA＝，cosA＝，∴tanA＝＝，＝．
2、解：如图，∵在△ABC中，AC⊥BC，∠ABC＝30°，∴AB＝2AC，BC＝＝AC．
∵BD＝BA，∴DC＝BD+BC＝（2+）AC，∴tan∠DAC＝＝＝2+．
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1.解：如图所示，过点E作EH⊥AB于H，
∵OC平分，∴，∵，∴， ∴，∴，
∵四边形ABCD是平行四边形，对角线AC、BD交于点O，
∴，，∴，即，
∵平分，∴，∵M为BC的中点，∴OM为△ABC的中位线，
∴，∴，
∴， ∴，∴，∴，
∵，∴，∴，∴，，
∵，∴，∴，∴，
∴，
精品试卷·第 2 页（共 2 页）
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网格中藏着什么？
夯实基础，稳扎稳打
1．如图，的顶点都是边长为1的小正方形组成的网格的格点，求的正切值．
2、如图，在5×4的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，△ABC的顶点都在这些小正方形的顶点上，求sin∠BAC的值
3．定义：圆心在原点，半径为1的圆称为单位圆.如图，已知点在单位圆上，求
4.如图,已知△ABC的三个顶点都在方格图的格点上,求cos C的值.
5．如图，△ABC的三个顶点都在正方形网格的格点上，求sin∠A的值
6.如图,射线OA放置在3×5的正方形网格中,现请你在图中找出格点(即每个小正方形的顶点)B,并连接OB,AB,使△AOB为直角三角形,且(1)使tan∠AOB的值为1; (2)使tan∠AOB的值为0.5
连续递推，豁然开朗
7. 如图，点A，B，C在正方形网格的格点上，求sin∠BAC的值
8．如图，A、B、C是小正方形的顶点，且每个小正方形的边长为1，求tan∠BAC的值
9．如图，在2×2正方形网格中，以格点为顶点的△ABC的面积等于，求sin∠CAB的值
10．如图，已知直线，相邻两条平行直线间的距离都是1，如果正方形ABCD的四个顶点分别在四条直线上，求sinα的值
11．如图，在边长为1的小正方形网格中，点A、B、C、D都在这些小正方形的顶点上，AB、CD相交于点O，求tan∠AOD的值.
参考答案
1.解：过点B作BD⊥AC于点D，则∠ADB=90°，∴tan∠BAC=.
2.解：如图，过C作CD⊥AB于D，则∠ADC＝90°，∴AC＝＝＝5．
∴sin∠BAC＝＝．
3．【解答】解：过P作于E，则PO=1,PE=y, OE=x,
∴ ，
4.解.　在CB的延长线上取格点D,令∠ADC=90°,如图,在Rt△ADC中,AC===2,∴cos C===.
5.解：如图所示，找到格点D，连接BD，AD
∵，∴
7.解：如图，作于，由勾股定理得，，，
，，．
8.．【详解】如图，连接BC，由网格可得AB=BC=，AC=，即AB2+BC2=AC2，
∴△ABC为等腰直角三角形，∴∠BAC=45°，则tan∠BAC=1，
9．【详解】过C作CD⊥AB，
根据勾股定理得： AC=AB= = ，S△ABC=4---=，
即 CD AB=，所以 CD =，解得：CD= ，则sin∠CAB== ，
10．【详解】解：过D作EF⊥，交于E，交于F，
∵，∴EF与都垂直，∴DE=1，DF=2．
∵四边形ABCD是正方形，
又 ∴∠α=∠CDF，
∴DE=CF=1，∴在中，
11．【详解】如图，连接BE，
∵四边形BCEK是正方形，∴KF=CF=CK，BF=BE，CK=BE，BE⊥CK，
∴BF=CF，根据题意得：AC∥BK，∴△ACO∽△BKO，∴KO：CO=BK：AC=1：3，
∴KO：KF=1：2，∴KO=OF=CF=BF，
在Rt△PBF中，tan∠BOF==2，∵∠AOD=∠BOF，∴tan∠AOD=2．
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