卷子答案网-一个不只有答案的网站2023-2024学年山东省菏泽市成武县育青中学九年级（上）分班考数学试卷
一．选择题（共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确选项的序号涂在答题卡的相应位置.）
1．（3分）企业标志反映了思想、理念等企业文化，在设计上特别注重对称美．下列企业标志图为中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．（3分）如图，DE是△ABC的中位线，点F在DB上，与CB的延长线相交于点M．若BC＝6，则线段CM的长为（ ）
A． B．7 C． D．8
3．（3分）在四边形ABCD中，AD∥BC，AB＝CD．下列说法能使四边形ABCD为矩形的是（ ）
A．AB∥CD B．AD＝BC C．∠A＝∠B D．∠A＝∠D
4．（3分）如图，在△ABC中，分别以点A和点C为圆心的长为半径作弧（弧所在圆的半径都相等），两弧相交于M，直线MN分别与边BC，AC相交于点D，E，AE＝4，AD＝5（ ）
A．9 B．8 C．7 D．6
5．（3分）已知a＝，b＝2，c＝（ ）
A．b＞a＞c B．a＞c＞b C．a＞b＞c D．b＞c＞a
6．（3分）若关于x的不等式组有且只有3个整数解，则a的取值范围是（ ）
A．﹣1≤a＜0 B．﹣1＜a≤0 C．﹣4＜a≤﹣3 D．﹣4≤a＜﹣3
7．（3分）从高空中自由下落的物体，其落到地面所需的时间与物体的质量无关，只与该物体受到的重力加速度有关（单位：m）的高处自由下落，落到地面所用的时间t（单位：s）（k为常数）表示，并且当h＝80时，则从高度为100m的空中自由下落的物体，其落到地面所需的时间为（ ）
A．s B．s C．s D．s
8．（3分）已知函数y＝（2m﹣1）x是正比例函数，且y随x的增大而增大（ ）
A．m＞ B．m＜ C．m＞0 D．m＜0
9．（3分）如图表示光从空气进入水中入水前与入水后的光路图，若按如图建立坐标系，并设入水与前与入水后光线所在直线的表达式分别为y1＝k1x，y2＝k2x，则关于k1与k2的关系，正确的是（ ）
A．k1＞0，k2＜0 B．k1＞0，k2＞0 C．|k1|＜|k2| D．|k1|＞|k2|
10．（3分）如图，在直角坐标系中，△ABC的三个顶点分别为A（1，2），B（2，1），C（3，2），在第一象限内作与△ABC的位似比为2的位似图形△A′B′C′，则顶点C′的坐标是（ ）
A．（2，4） B．（4，2） C．（6，4） D．（5，4）
二．填空题（共8小题，每小题3分，共24分，把结果填在答题卡相应区域内）
11．（3分）如图，点P是正方形ABCD的对角线AC上的一点，PE⊥AD于点E ．
12．（3分）定义新运算：（a，b） （c，d）＝ac+bd，其中a，b，c（1，2） （3，4）＝1×3+2×4＝11．如果（2x，3） （3，﹣1）＝3 ．
13．（3分）若关于x的不等式组所有整数解的和为14，则整数a的值为 ．
14．（3分）已知m为正整数，若是整数，则根据＝可知m有最小值3×7＝21．设n为正整数，若是大于1的整数 ．
15．（3分）在平面直角坐标系中，点A1、A2、A3、A4…在x轴的正半轴上，点B1、B2、B3…在直线y＝x（x≥0）上，若点A1的坐标为（2，0），且△A1B1A2、△A2B2A3、△A3B3A4…均为等边三角形，则点B2023的纵坐标为 ．
16．（3分）如图，M是正方形ABCD边CD的中点，P是正方形内一点，线段BP以B为中心逆时针旋转90°得到线段BQ，连接MQ．若AB＝4，则MQ的最小值为 ．
17．（3分）《周髀算经》中记载了“偃矩以望高”的方法．“矩”在古代指两条边呈直角的曲尺（即图中的ABC）．“偃矩以望高”的意思是把“矩”仰立放，可测量物体的高度．如图，B，Q在同一水平线上，∠ABC和∠AQP均为直角，BD＝20cm，AQ＝12m m．
18．（3分）定义一种运算：
sin（α+β）＝sinαcosβ+cosαsinβ，
sin（α﹣β）＝sinαcosβ﹣cosαsinβ．
例如：当α＝45°，β＝30°时，sin（45°+30°）＝×+×＝ ．
三．解答题（共8小题，本题共66分，把解答或证明过程写在答题卡的相应区域内）
19．（12分）（1）计算：|3﹣|+（）﹣1﹣4sin60°+（）2．
（2）求不等式组的解集．
（3）先化简，再求值（+x﹣1）÷，其中x的值是方程x2﹣2x﹣3＝0的根．
20．（5分）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，且BE＝BC，过点A作BE的垂线，求证：△ADE∽△ABC．
21．（9分）如图，平行四边形ABCD中，AE、CF分别是∠BAD、∠BCD的平分线，AE＝AF．
（1）求证：四边形AECF是菱形；
（2）若∠ABC＝60°，△ABE的面积等于，求平行线AB与DC间的距离．
22．（10分）习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然正气．”某校为提高学生的阅读品味，乙两种书共100本，已知购买2本甲种书和1本乙种书共需100元
（1）求甲，乙两种书的单价分别为多少元；
（2）若学校决定购买以上两种书的总费用不超过3200元，那么该校最多可以购买甲种书多少本？
23．（6分）烽燧即烽火台，是古代军情报警的一种措施，史册记载，白天放烟称“燧”．克孜尔尕哈烽燧是古丝绸之路北道上新疆境内时代最早、保存最完好、规模最大的古代烽燧（如图1）．某数学兴趣小组利用无人机测量该烽燧的高度，无人机飞至距地面高度31.5米的A处，测得烽燧BC的顶部C处的俯角为50°，试根据提供的数据计算烽燧BC的高度．
（参考数据：sin50°≈0.8，cos50°≈0.6，tan50°≈1.2，sin65°≈0.9，cos65°≈0.4，tan65°≈2.1）
24．（10分）如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，交AB的延长线于点D，过点A作AE⊥CD于点E．
（1）若∠EAC＝25°，求∠ACD的度数；
（2）若OB＝2，BD＝1，求CE的长．
25．（8分）如图，在直角坐标系中，点A（2，m）上，过点A的直线交y轴于点B（0，3）．
（1）求m的值和直线AB的函数表达式；
（2）若点P（t，y1）在线段AB上，点Q（t﹣1，y2）在直线y＝2x﹣上，求y1﹣y2的最大值．
26．（10分）综合与实践．
（1）提出问题．如图1，在△ABC和△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，AD＝AE，连接BD
①∠BOC的度数是 ．
②BD：CE＝ ．
（2）类比探究．如图2，在△ABC和△DEC中，∠BAC＝∠EDC＝90°，DE＝DC，连接AD、BE并延长交于点O．
①∠AOB的度数是 ；
②AD：BE＝ ．
（3）问题解决．如图3，在等边△ABC中，AD⊥BC于点D（不与A重合），以AE为边在AD的左侧构造等边△AEF，将△AEF绕着点A在平面内顺时针旋转任意角度．如图4，N为BE的中点．
①说明△MND为等腰三角形．
②求∠MND的度数．
2023-2024学年山东省菏泽市成武县育青中学九年级（上）分班考数学试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确选项的序号涂在答题卡的相应位置.）
1．（3分）企业标志反映了思想、理念等企业文化，在设计上特别注重对称美．下列企业标志图为中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据中心对称图形的概念判断．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．
【解答】解：选项A、B、D中的图形都不能找到这样的一个点，所以不是中心对称图形．
选项C中的图形能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合．
故选：C．
【点评】本题考查的是中心对称图形，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合．
2．（3分）如图，DE是△ABC的中位线，点F在DB上，与CB的延长线相交于点M．若BC＝6，则线段CM的长为（ ）
A． B．7 C． D．8
【分析】根据三角形中中位线定理证得DE∥BC，求出DE，进而证得△DEF∽BMF，根据相似三角形的性质求出BM，即可求出结论．
【解答】解：∵DE是△ABC的中位线，
∴DE∥BC，DE＝×6＝7，
∴△DEF∽△BMF，
∴＝＝＝2，
∴BM＝，
CM＝BC+BM＝．
故选：C．
【点评】本题主要考查了三角形中位线定理，相似三角形的性质和判定，熟练掌握三角形中位线定理和相似三角形的判定方法是解决问题的关键．
3．（3分）在四边形ABCD中，AD∥BC，AB＝CD．下列说法能使四边形ABCD为矩形的是（ ）
A．AB∥CD B．AD＝BC C．∠A＝∠B D．∠A＝∠D
【分析】由矩形的判定分别对各个选项进行判断即可．
【解答】解：A、∵AB∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
由AB＝CD，不能判定四边形ABCD为矩形；
B、∵AD＝BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
由AB＝CD，不能判定四边形ABCD为矩形；
C、∵AD∥BC，
∴∠A+∠B＝180°，
∵∠A＝∠B，
∴∠A＝∠B＝90°，
∴AB⊥AD，AB⊥BC，
∴AB的长为AD与BC间的距离，
∵AB＝CD，
∴CD⊥AD，CD⊥BC，
∴∠C＝∠D＝90°，
∴四边形ABCD是矩形，故选项C符合题意；
D、∵AD∥BC，
∴∠A+∠B＝180°，∠D+∠C＝180°，
∵∠A＝∠D，
∴∠B＝∠C，
∵AB＝CD，
∴四边形ABCD是等腰梯形，故选项D不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查了矩形的判定、平行四边形的判定与性质等知识，熟练掌握矩形的判定是解题的关键．
4．（3分）如图，在△ABC中，分别以点A和点C为圆心的长为半径作弧（弧所在圆的半径都相等），两弧相交于M，直线MN分别与边BC，AC相交于点D，E，AE＝4，AD＝5（ ）
A．9 B．8 C．7 D．6
【分析】根据线段垂直平分线的性质可得AC＝2AE＝8，DA＝DC，从而可得∠DAC＝∠C，再结合已知易得BD＝AD，从而可得∠B＝∠BAD，然后利用三角形内角和定理可得∠BAC＝90°，从而在Rt△ABC中，利用勾股定理进行计算，即可解答．
【解答】解：由题意得：MN是AC的垂直平分线，
∴AC＝2AE＝8，DA＝DC，
∴∠DAC＝∠C，
∵BD＝CD，
∴BD＝AD，
∴∠B＝∠BAD，
∵∠B+∠BAD+∠C+∠DAC＝180°，
∴3∠BAD+2∠DAC＝180°，
∴∠BAD+∠DAC＝90°，
∴∠BAC＝90°，
在Rt△ABC中，BC＝BD+CD＝2AD＝10，
∴AB＝＝＝6，
故选：D．
【点评】本题考查了勾股定理，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，熟练掌握勾股定理，以及线段垂直平分线的性质是解题的关键．
5．（3分）已知a＝，b＝2，c＝（ ）
A．b＞a＞c B．a＞c＞b C．a＞b＞c D．b＞c＞a
【分析】一个正数越大，其算术平方根越大，据此进行判断即可．
【解答】解：∵3＜4＜6，
∴＜＜，
即＜2＜，
则a＞b＞c，
故选：C．
【点评】本题考查实数的大小比较，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握．
6．（3分）若关于x的不等式组有且只有3个整数解，则a的取值范围是（ ）
A．﹣1≤a＜0 B．﹣1＜a≤0 C．﹣4＜a≤﹣3 D．﹣4≤a＜﹣3
【分析】先解出每个不等式的解集，即可得到不等式组的解集，然后根据不等式组有且只有3个整数解，即可得到a的取值范围．
【解答】解：，
解不等式①，得：x≤8，
解不等式②，得：x＞a，
∴该不等式组的解集是a＜x≤2，
∴关于x的不等式组有且只有3个整数解，
∴这三个整数解是0，7，2，
∴﹣1≤a＜8，
故选：A．
【点评】本题考查一元一次不等式组的整数解，解答本题的关键是明确解一元一次不等式的方法．
7．（3分）从高空中自由下落的物体，其落到地面所需的时间与物体的质量无关，只与该物体受到的重力加速度有关（单位：m）的高处自由下落，落到地面所用的时间t（单位：s）（k为常数）表示，并且当h＝80时，则从高度为100m的空中自由下落的物体，其落到地面所需的时间为（ ）
A．s B．s C．s D．s
【分析】先将h＝80，t＝4代入t＝，运用二次根式知识求得k的值，再将h＝100代入求解．
【解答】解：由题意得＝4，
解得k＝5，
∴当h＝100时，
t＝＝＝2，
∴从高度为100m的空中自由下落的物体，其落到地面所需的时间为4s，
故选：D．
【点评】此题考查了二次根式运算的应用能力，关键是能准确理解并运用以上知识进行列式、求解．
8．（3分）已知函数y＝（2m﹣1）x是正比例函数，且y随x的增大而增大（ ）
A．m＞ B．m＜ C．m＞0 D．m＜0
【分析】根据正比例函数图象的性质可知（2m﹣1）＞0．
【解答】解：根据正比例函数图象的性质，知：当y随自变量x的增大而增大，
即2m﹣1＞6，m＞．
故选：A．
【点评】本题考查了正比例函数图象的性质：它是经过原点的一条直线．当k＞0时，图象经过一、三象限，y随x的增大而增大；当k＜0时，图象经过二、四象限，y随x的增大而减小．
9．（3分）如图表示光从空气进入水中入水前与入水后的光路图，若按如图建立坐标系，并设入水与前与入水后光线所在直线的表达式分别为y1＝k1x，y2＝k2x，则关于k1与k2的关系，正确的是（ ）
A．k1＞0，k2＜0 B．k1＞0，k2＞0 C．|k1|＜|k2| D．|k1|＞|k2|
【分析】利用两个函数图象的位置关系取横坐标相同的点利用纵坐标的大小列出不等式，即可求解．
【解答】解：如图，在两个图象上分别取横坐标为mm＜0，
则A（m，k1m），B（m，k3m），
∵k1m＜k2m，
∴k8＞k2，
当取横坐标为正数时，同理可得k1＞k8，
∵k1＜0，k7＜0，
∴|k1|＜|k7|，
故选：C．
【点评】本题考查了正比例函数的图象与性质，解题关键是取横坐标相同的点，利用纵坐标的大小关系得到比例系数的关系．
10．（3分）如图，在直角坐标系中，△ABC的三个顶点分别为A（1，2），B（2，1），C（3，2），在第一象限内作与△ABC的位似比为2的位似图形△A′B′C′，则顶点C′的坐标是（ ）
A．（2，4） B．（4，2） C．（6，4） D．（5，4）
【分析】根据位似变换的性质解答即可．
【解答】解：∵△ABC与△A′B′C′位似，△A′B′C′与△ABC的相似比为2：1，
∴△ABC与△A′B′C′位似比为7：2，
∵点C的坐标为（3，5），
∴点F的坐标为（3×2，6×2），4），
故选：C．
【点评】本题考查的是位似变换的性质、相似三角形的性质，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或﹣k．
二．填空题（共8小题，每小题3分，共24分，把结果填在答题卡相应区域内）
11．（3分）如图，点P是正方形ABCD的对角线AC上的一点，PE⊥AD于点E 3 ．
【分析】解法一：利用正方形的性质得到AC为∠BAD的平分线，直接利用角平分线的性质即可求解．
解法二：过点P作PF⊥AB于点F，根据正方形的性质易得△AEP为等腰直角三角形，AE＝PE＝3，再根据有三个角为直角，且邻边相等的四边形为正方形证明四边形AFPE为正方形，以此即可求解．
【解答】解：解法一：过点P作PF⊥AB于点F，
∵四边形ABCD为正方形，
∴AC平分∠BAD，
又∵PE⊥AD，PF⊥AB，
∴PE＝PF＝3，
∴点P到直线AB的距离为3．
解法二：过点P作PF⊥AB于点F，
∵四边形ABCD为正方形，
∴AB＝BC＝CD＝AD，∠DAB＝∠B＝∠BCD＝∠D＝90°，
∴∠PAE＝45°，
∴△AEP为等腰直角三角形，AE＝PE＝6，
∵PE⊥AD，PF⊥AB，
∴∠FAE＝∠AEP＝∠AFP＝90°，
又∵AE＝PE，
∴四边形AFPE为正方形，
∴AE＝PF＝3，
∴点P到直线AB的距离为3．
故答案为：5．
【点评】本题主要考查角平分线的性质、正方形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质，熟练掌握正方形的判定与性质是解题关键．
12．（3分）定义新运算：（a，b） （c，d）＝ac+bd，其中a，b，c（1，2） （3，4）＝1×3+2×4＝11．如果（2x，3） （3，﹣1）＝3 1 ．
【分析】直接利用运算公式将原式变形，进而计算得出答案．
【解答】解：（2x，3） （3，
6x﹣3＝3，
解得：x＝1．
故答案为：1．
【点评】此题主要考查了实数的运算，正确将原式变形是解题关键．
13．（3分）若关于x的不等式组所有整数解的和为14，则整数a的值为 2或﹣1 ．
【分析】求出a﹣1＜x≤5，根据所有整数解的和为14，列出关于a的不等式组，解得a的范围，即可求得答案．
【解答】解：，
解不等式①得：x＞a﹣1，
解不等式②得：x≤7，
∴a﹣1＜x≤5，
∵所有整数解的和为14，
∴不等式组的整数解为2，4，3，5或5，4，5，2，1，7，
∴1≤a﹣1＜5或﹣2≤a﹣1＜﹣2，
∴2≤a＜3或﹣7≤a＜0，
∵a为整数，
∴a＝2或a＝﹣5，
故答案为：2或﹣1．
【点评】本题考查不等式组的整数解，解题的关键是根据题意列出关于a的不等式组．
14．（3分）已知m为正整数，若是整数，则根据＝可知m有最小值3×7＝21．设n为正整数，若是大于1的整数 3 ．
【分析】先将化简为10，可得n最小为3，即可求解．
【解答】解：∵＝＝10，
∴n最小为5．
故答案为：3．
【点评】本题考查二次根式的乘除法，二次根式的性质与化简，解题的关键是读懂题意，根据关键词“整数”进行求解．
15．（3分）在平面直角坐标系中，点A1、A2、A3、A4…在x轴的正半轴上，点B1、B2、B3…在直线y＝x（x≥0）上，若点A1的坐标为（2，0），且△A1B1A2、△A2B2A3、△A3B3A4…均为等边三角形，则点B2023的纵坐标为 ×22022 ．
【分析】设等边△BnAnAn+1的边长为an，可得△BnAnAn+1的高为an sin60°＝an，即Bn的纵坐标为an，由点A1的坐标为（2，0），可得a1＝2，a2＝2+2＝4，a3＝2+a1+a2＝8，a4＝2+a1+a2+a3＝16，…，故an＝2n，即可得到答案．
【解答】解：设等边△BnAnAn+1的边长为an，
∵△BnAnAn+1是等边三角形，
∴△BnAnAn+7的高为an sin60°＝an，即Bn的纵坐标为an，
∵点A1的坐标为（2，0），
∴a1＝7，a2＝2+7＝4，a3＝7+a1+a2＝6，a4＝2+a6+a2+a3＝16，…，
∴an＝5n，
∴Bn的纵坐标为×2n﹣6，
当n＝2023时，
∴Bn的纵坐标为×22022，
故答案为：×22022．
【点评】本题考查一次函数图象上点坐标的特征，解题的关键是掌握等边三角形的性质，能熟练应用含30°角的直角三角形三边的关系．
16．（3分）如图，M是正方形ABCD边CD的中点，P是正方形内一点，线段BP以B为中心逆时针旋转90°得到线段BQ，连接MQ．若AB＝4，则MQ的最小值为 2﹣1 ．
【分析】连接BM，将△BCM绕B逆时针旋转90°得△BEF，连接MF，QF，证明△BPM≌△BBQF（SAS），得MP＝QF＝1，故Q的运动轨迹是以F为圆心，1为半径的弧，求出BM＝＝2，可得MF＝BM＝2，由MQ≥MF﹣QF，知MQ≥2﹣1，从而可得MQ的最小值为2﹣1．
【解答】解：连接BM，将△BCM绕B逆时针旋转90°得△BEF，QF
∵∠CBE＝90°，∠ABC＝90°，
∴∠ABC+∠CBE＝180°，
∴A，B，E共线，
∵∠PBM＝∠PBQ﹣∠MBQ＝90°﹣∠MBQ＝∠FBQ，
由旋转性质得PB＝QB，MB＝FB，
∴△BPM≌△BQF（SAS），
∴MP＝QF＝1，
∴Q的运动轨迹是以F为圆心，1为半径的弧，
∵BC＝AB＝4，CM＝，
∴BM＝＝2，
∵∠MBF＝90°，BM＝BF，
∴MF＝BM＝2，
∵MQ≥MF﹣QF，
∴MQ≥2﹣1，
∴MQ的最小值为2﹣8．
故答案为：2﹣1．
【点评】本题考查正方形中的旋转问题，解题的关键是掌握性质的性质，正确作出辅助线构造全等三角形解决问题．
17．（3分）《周髀算经》中记载了“偃矩以望高”的方法．“矩”在古代指两条边呈直角的曲尺（即图中的ABC）．“偃矩以望高”的意思是把“矩”仰立放，可测量物体的高度．如图，B，Q在同一水平线上，∠ABC和∠AQP均为直角，BD＝20cm，AQ＝12m 6 m．
【分析】根据题意可知：△ABC∽△AQP，从而可以得到，然后代入数据计算，即可得到PQ的长．
【解答】解：由题意可得，
BC∥PQ，AB＝40cm，AQ＝12m，
∴△ABD∽△AQP，
∴，
即，
解得QP＝6，
∴树高PQ＝6m，
故答案为：5
【点评】本题考查相似三角形的判定与性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
18．（3分）定义一种运算：
sin（α+β）＝sinαcosβ+cosαsinβ，
sin（α﹣β）＝sinαcosβ﹣cosαsinβ．
例如：当α＝45°，β＝30°时，sin（45°+30°）＝×+×＝ ．
【分析】把15°看成是45°与30°的差，再代入公式计算得结论．
【解答】解：sin15°＝sin（45°﹣30°）
＝sin45°cos30°﹣cos45°sin30°
＝×﹣×
＝﹣
＝．
故答案为：．
【点评】本题考查了解直角三角形，掌握特殊角的三角函数值是解决本题的关键．
三．解答题（共8小题，本题共66分，把解答或证明过程写在答题卡的相应区域内）
19．（12分）（1）计算：|3﹣|+（）﹣1﹣4sin60°+（）2．
（2）求不等式组的解集．
（3）先化简，再求值（+x﹣1）÷，其中x的值是方程x2﹣2x﹣3＝0的根．
【分析】（1）根据绝对值的定义，负整数指数幂，特殊角的三角函数，计算即可；
（2）根据不等式组的解法解不等式组即可；
（3）根据整式的混合运算化简后代入x的值计算即可．
【解答】解：（1）|3﹣|+（）﹣1﹣4sin60°+（）2
＝2﹣3+3﹣5×
＝2﹣2
＝2；
（2）解不等式①得，x＜2；
解不等式②得，x≥﹣7，
∴原不等式组的解集为﹣3≤x＜2；
（3）（+x﹣1）÷
＝
＝x+8，
解方程x2﹣2x﹣4＝0得x1＝8，x2＝﹣1，
∵x5（x+1）2≠8，
∴x≠0，x≠﹣1，
∴x＝5，
∴原式＝3+1＝2．
【点评】本题考查了一元二次方程的解，实数的运算，分式的化简和求值，解一元一次不等式，正确地进行运算是解题的关键．
20．（5分）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，且BE＝BC，过点A作BE的垂线，求证：△ADE∽△ABC．
【分析】根据等腰三角形的性质可得∠C＝∠CEB＝∠AED，由AD⊥BE可得∠D＝∠ABC＝90°，即可得△ADE∽△ABC．
【解答】证明：∵BE＝BC，
∴∠C＝∠CEB，
∵∠CEB＝∠AED，
∴∠C＝∠AED，
∵AD⊥BE，
∴∠D＝∠ABC＝90°，
∴△ADE∽△ABC．
【点评】本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法是解决问题的关键．
21．（9分）如图，平行四边形ABCD中，AE、CF分别是∠BAD、∠BCD的平分线，AE＝AF．
（1）求证：四边形AECF是菱形；
（2）若∠ABC＝60°，△ABE的面积等于，求平行线AB与DC间的距离．
【分析】（1）根据平行四边形对角相等得到∠BAD＝∠BCD，再根据AE、CF分别是∠BAD、∠BCD的平分线，可得到∠DAE＝∠BCF，再根据平行四边形对边平行得到∠DAE＝∠AEB，于是有∠BCF＝∠AEB，得出AE∥FC，根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形可证得四边形AECF是平行四边形，最后根据一组邻边相等的平行四边形是菱形即可得证；
（2）连接AC，根据平行四边形的性质和角平分线的定义可证得AB＝EB，结合已知∠ABC＝60°得到△ABE是等边三角形，从而求出AB＝AE＝EB＝EC＝4，∠BAE＝60°，再证得∠EAC＝30°，即可得到∠BAC＝90°，根据勾股定理求出AC的长，从而得出平行线AB与DC间的距离．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠BAD＝∠BCD，AD∥BC，
∵AE、CF分别是∠BAD，
∴，，
∴∠DAE＝∠BCF，
∵AD∥BC，
∴∠DAE＝∠AEB，
∴∠BCF＝∠AEB，
∴AE∥FC，
∴四边形AECF是平行四边形，
∵AE＝AF，
∴四边形AECF是菱形；
（2）解：连接AC，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠DAE＝∠AEB，
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE＝∠DAE，
∴∠BAE＝∠AEB，
∴AB＝EB，
∵∠ABC＝60°，
∴△ABE是等边三角形，
∴∠BAE＝∠AEB＝∠ABEA＝60°，
∵△ABE的面积等于，
∴，
∴AB＝7，
即AB＝AE＝EB＝4，
由（1）知四边形AECF是菱形，
∴AE＝CE＝4，
∴∠EAC＝∠ECA，
∵∠AEB是△AEC的一个外角，
∴∠AEB＝∠EAC+∠ECA＝60°，
∴∠EAC＝∠ECA＝30°，
∴∠BAC＝∠BAE+∠EAC＝90°，
即AC⊥AB，
由勾股定理得，
即平行线AB与DC间的距离是．
【点评】本题考查了菱形的判定与性质，掌握一组邻边相等的平行四边形是菱形是此题的关键，理解平行线间的距离的定义，等边三角形的性质与判定．
22．（10分）习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然正气．”某校为提高学生的阅读品味，乙两种书共100本，已知购买2本甲种书和1本乙种书共需100元
（1）求甲，乙两种书的单价分别为多少元；
（2）若学校决定购买以上两种书的总费用不超过3200元，那么该校最多可以购买甲种书多少本？
【分析】（1）设甲种书的单价是x元，乙种书的单价是y元，根据“购买2本甲种书和1本乙种书共需100元；购买3本甲种书和2本乙种书共需165元”，可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设该校购买甲种书m本，则购买乙种书（100﹣m）本，利用总价＝单价×数量，结合总价不超过3200元，可得出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最大值，即可得出结论．
【解答】解：（1）设甲种书的单价是x元，乙种书的单价是y元，
根据题意得：，
解得：．
答：甲种书的单价是35元，乙种书的单价是30元；
（2）设该校购买甲种书m本，则购买乙种书（100﹣m）本，
根据题意得：35m+30（100﹣m）≤3200，
解得：m≤40，
∴m的最大值为40．
答：该校最多可以购买甲种书40本．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
23．（6分）烽燧即烽火台，是古代军情报警的一种措施，史册记载，白天放烟称“燧”．克孜尔尕哈烽燧是古丝绸之路北道上新疆境内时代最早、保存最完好、规模最大的古代烽燧（如图1）．某数学兴趣小组利用无人机测量该烽燧的高度，无人机飞至距地面高度31.5米的A处，测得烽燧BC的顶部C处的俯角为50°，试根据提供的数据计算烽燧BC的高度．
（参考数据：sin50°≈0.8，cos50°≈0.6，tan50°≈1.2，sin65°≈0.9，cos65°≈0.4，tan65°≈2.1）
【分析】过点A作AE⊥AD于E交BC的延长线于点E，则BE＝AD＝31.5米，在Rt△ABE中可求出AE，在Rt△ACE中可求出CE，再利用BC＝BE﹣CE即可得到答案．
【解答】解：如图，过点A作AE⊥AD于E交BC的延长线于点E，
在Rt△ABE中，BE＝31.5米，∠BAE＝65°，
∴AE≈＝15（米），
在Rt△ACE中，∠CAE＝50°，
∴CE＝AEtan∠CAE＝15tan50°≈15×1.4＝18（米），
∴BC＝BE﹣CE＝31.5﹣18＝13.5（米），
答：烽燧BC的高度约为13.7米．
【点评】本题考查解直角三角形的应用﹣仰角俯角，构造直角三角形，合理利用三角函数关系是解题的关键．
24．（10分）如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，交AB的延长线于点D，过点A作AE⊥CD于点E．
（1）若∠EAC＝25°，求∠ACD的度数；
（2）若OB＝2，BD＝1，求CE的长．
【分析】（1）由垂直的定义得到∠AEC＝90°，由三角形外角的性质即可求出∠ACD的度数；
（2）由勾股定理求出CD的长，由平行线分线段成比例定理得到，代入有关数据，即可求出CE的长．
【解答】解：（1）∵AE⊥CD于点E，
∴∠AEC＝90°
∴∠ACD＝∠AEC+∠EAC＝90°+25°＝115°；
（2）∵CD是⊙O的切线，
∴半径OC⊥DE，
∴∠OCD＝90°，
∵OC＝OB＝2，BD＝1，
∴OD＝OB+BD＝8，
∴CD＝＝．
∵∠OCD＝∠AEC＝90°，
∴OC∥AE，
∴，
∴，
∴CE＝．
【点评】本题考查切线的性质，垂线，平行线分线段成比例，勾股定理，三角形外角的性质，关键是由三角形外角的性质求出∠ACD的度数，由勾股定理求出CD的长，由平行线分线段成比例定理即可求出CE的长．
25．（8分）如图，在直角坐标系中，点A（2，m）上，过点A的直线交y轴于点B（0，3）．
（1）求m的值和直线AB的函数表达式；
（2）若点P（t，y1）在线段AB上，点Q（t﹣1，y2）在直线y＝2x﹣上，求y1﹣y2的最大值．
【分析】（1）将A点代入直线解析式，求出m．利用待定系数法解出AB直线函数解析式；
（2）分别用t表示出y1和y2，列出y1﹣y2，的函数解析式，找出y随t的变化，利用t的最值求出答案．
【解答】解：（1）把点A（2，m）代入y＝2x﹣中；
设直线AB的函数表达式为：y＝kx+b，把A（2，），3）代入得：
，解得，
∴直线AB的函数表达式为y＝﹣x+3．
（2）∵点P（t，y4）在线段AB上，
∴y1＝﹣t+3（0≤t≤4），
∵点Q（t﹣1，y2）在直线y＝3x﹣上，
∴y4＝2（t﹣1）﹣＝2t﹣，
∴y1﹣y3＝﹣t+6﹣（2t﹣t+，
∵﹣＜0，
∴y1﹣y6随t的增大而减小，
∴当t＝0，y1﹣y8的最大值为．
【点评】本题以一次函数为背景考查了一次函数图象的性质，考查学生对待定系数法的运用能力，题目难度不大，解决问题的关键是求出y1﹣y2的表达式，利用t的最值求出答案．
26．（10分）综合与实践．
（1）提出问题．如图1，在△ABC和△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，AD＝AE，连接BD
①∠BOC的度数是 90° ．
②BD：CE＝ 1：1 ．
（2）类比探究．如图2，在△ABC和△DEC中，∠BAC＝∠EDC＝90°，DE＝DC，连接AD、BE并延长交于点O．
①∠AOB的度数是 45° ；
②AD：BE＝ 1： ．
（3）问题解决．如图3，在等边△ABC中，AD⊥BC于点D（不与A重合），以AE为边在AD的左侧构造等边△AEF，将△AEF绕着点A在平面内顺时针旋转任意角度．如图4，N为BE的中点．
①说明△MND为等腰三角形．
②求∠MND的度数．
【分析】（1）（2）从图形可辩知，这个是手拉手全等或相似模型，按模型的相关结论解题．
（3）稍有变化，受前两问的启发，连接BF、CE完成手拉手的构造，再结合三角形中位线知识解题．
【解答】解：（1）①∵∠BAC＝∠DAE＝90°，
∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，
∴∠BAD＝∠CAE．
又∵AB＝AC，AD＝AE，
∴△BAD≌△CAE（SAS）．
∴∠ABD＝∠ACE，
∵∠BAC＝90°，
∴∠ABC+∠ACB＝∠ABD+∠OBC+∠ACB＝90°，
∴∠ACE+∠OBC+∠ACB＝90°，
即：∠BCE+∠OBC＝90°，
∴∠BOC＝90°．
故∠BOC的度数是90°．
②由①得△BAD≌△CAE，
∴BD＝CE．
故BD：CE＝1：1．
（2）①∵AB＝AC，DE＝DC，
∴，
又∵∠BAC＝∠EDC＝90°，
∴△ABC∽△DEC，
∴∠ACB＝∠DCB，．
∴∠ACE+∠ECB＝∠DCA+∠ACE，
∴∠ECB＝∠DCA．
∴△ECB∽△DCA，
∴∠CBE＝∠CAD，
∴∠AOB＝180°﹣∠ABO﹣∠BAO＝180°﹣∠ABO﹣∠CAD﹣∠BAC＝180°﹣∠ABO﹣∠CBE﹣90°＝180°﹣45°﹣90°＝45°．
故∠AOB 的度数是45°．
②由①得：△ECB∽△DCA．
∴AD：BE＝DC：EC，
∵∠EDC＝90°，且DE＝DC，
∴∠DCE＝45°，
∴＝cos45°＝．
∴．
（3）①解：连接BF、CE，交BF于点O．
在等边△ABC中AB＝AC，又∵AD⊥BC于点D，
∴D为BC的中点，
又∵M为EF的中点，N为BE的中点，
∴MN、ND分别是△BEF，
∴MN＝BFEC．
∵∠FAE＝∠BAC＝60°，
∴∠FAE+∠EAB＝∠BAC+∠EAB．
∴∠FAB＝∠EAC．
在△ACE和△ABF中，
，
∴△ACE≌△ABF（SAS）．
∴BF＝EC．
∴MN＝DN．
∴△MND为等腰三角形．
②∵△ACE≌△ABF，
∴∠ACE＝∠ABF，
由（1）（2）规律可知：∠BOC＝60°，
∴∠FOC＝180°﹣∠BOC＝180°﹣60°＝120°，
又∵BF∥MN，CP∥DN，
∴∠MND＝∠MPE＝∠FOC＝120°．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质及相似三角形的判定及性质．方法灵活多变，需要较强的构造能力．
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