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陕西省、青海省、四川省名校联盟2023-2024学年高三第二次月考复习模拟卷（理）03
（集合与逻辑语句，函数，导数，三角函数与解三角形）
本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，满分150分，考试时间120分钟
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知全集，设集合，集合，则（ ）。
A、 B、 C、 D、
【答案】C
【解析】由得，∴，∵，∴，
∴，∴，故选C。
2．已知，，则（ ）。
A、 B、 C、 D、
【答案】C
【解析】∵，，∴，∴、，
∴，故选C。
3．下列说法错误的是（ ）。
A、对于命题：，，则：，
B、“”是“”的充分不必要条件
C、若命题为假命题，则、都是假命题
D、命题“若，则”的逆否命题为“若，则”
【答案】C
【解析】命题的否定为前不否后否，但前有量词需改量词，则A对，
时能推出，但时或不能推出，则B对，
若命题为假命题，则、中至少有一个是假命题，则C错，
命题的逆否命题为前后颠倒再前后都否或者前后都否再前后颠倒，则D对，故选C。
4．函数的图像大致为（ ）。
A、 B、 C、 D、
【答案】B
【解析】∵的定义域为，，∴为奇函数，A选项错，
∵，D选项错，
∵，
当时，，∴在单调递增，∴排除C，
故选B。
5．设、、，则（ ）。
A、 B、 C、 D、
【答案】D
【解析】，
，
，
∵，∴，故选D。
6．已知函数的导函数，且满足，则（ ）。
A、 B、 C、 D、
【答案】B
【解析】由得，则，
解得，则，∴，故选B。
7．设集合，集合，定义，则中元素的个数是（ ）。
A、 B、 C、 D、
【答案】A
【解析】∵，，∴，
则，共个元素，故选A。
8．若都有成立，则实数的最大值为（ ）。
A、 B、 C、 D、
【答案】B
【解析】原不等式可转化为，构造函数，定义域为，，
令，解得，当时，，∴在内单调递增，
当时，，∴在内单调递减，
∵且，∴、在区间上，∴实数的最大值为，故选B。
9．已知函数是定义在上的连续函数，其导函数的图像如图所示，则的极值点的个数为（ ）。
A、个 B、个 C、个 D、个
【答案】C
【解析】设从左到右的图像与轴的交点坐标依次为、、，
虚线处的横坐标为，
由为增函数，为减函数可得：
在区间内为增函数，为增速最慢的值，
在区间内为减函数，又为连续函数，则处也为极值点，为极大值点，
在区间内为增函数，则处也为极值点，为极小值点，
在区间内为减函数，则处也为极值点，为极大值点，则有个极值点，故选C。
10．某莲藕种植塘每年的固定成本是元，每年最大规模的种植量是斤，每种植一斤藕，成本增加元。如果收入函数是（是莲藕的重量，单位：斤），则要使利润最大，每年需种植莲藕（ ）。
A、斤 B、斤 C、斤 D、斤
【答案】D
【解析】设利润为，（），
则，
令得或（舍去），
当时，，当时，；
∴当，即每年种植斤莲藕时，可使利润最大，选故D。
11．函数（、）的图像如图所示，、、是的图像与相邻的三个交点，与轴交于相邻的两个交点、，若在区间上，有个零点，则的最大值为（ ）。
A、 B、
C、 D、
【答案】C
【解析】由题意和图像可知，，∴，
又，∴，又，∴，∴，
又，∴，∴或，，
∵，∴，∴，∴，
令，解得或，，∴相邻两个零点的距离为或，
则当为个和个的和时，其值最大为，故选C。
12．已知函数，若函数仅有一个零点，则实数的取值范围为（ ）。
A、 B、 C、 D、
【答案】B
【解析】令，则，
当时，为减函数，
当时，，则，
∴当时，，当时，，
∴在上单调递增，在上单调递减，
∴当时，取得极大值，
作出的函数图像如图所示：
∵函数仅有一个零点，∴或，故选B。
二、填空题：本题共4小题，每小题6分，共20分。
13．若，则 。
【答案】
【解析】∵，即，∴，即。
14．若命题“，”是假命题，则实数的取值范围为 。
【答案】
【解析】若命题“，”是假命题，则命题“，”是真命题，
当时，有，可取，
当时，则有且，解得，
综上所述，实数的取值范围为。
15．已知公式，，借助这个公式，我们可以求函数（）的值域，则该函数的值域为 。
【答案】
【解析】令，∵，∴可设，
可化为，，
则，∴，，则函数值域为。
16．设函数是函数（）的导函数，为自然对数的底数，若函数满足， 且，则关于的不等式的解集为 。
【答案】
【解析】设，则，则，
则，又，则，
则，则可化为：，
设，则，则在定义域内单调递减，
∵，，则，则，解得。
三、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（本小题满分10分）已知幂函数在上单调递增，函数。
（1）求实数的值；
（2）当时，、的值域分别为集合、集合，设命题：，命题：，若命题是命题成立的必要条件，求实数的取值范围。
【解析】（1）依题意得：∵为幂函数，∴，∴或， 2分
当时，在上单调递减，舍去， 3分
当时，在上单调递增，可取， 4分
（2）由（1）得，当时，，即， 5分
当时，，即， 7分
∵命题是成立的必要条件，∴，∴，∴， 9分
∴实数的取值范围是。 10分
18．（本小题满分12分）已知函数（）是偶函数。
（1）求实数的值；
（2）若函数，，是否存在实数使得最小值为，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由。
【解析】（1），即对于任意恒成立，
∴，∴，∴ ； 4分
（2），，令，，，
∵开口向上，对称轴， 5分
当，即，，， 7分
当，即，，（舍去）， 9分
当，即，，（舍去）， 11分
∴存在得的最小值为。 12分
19．（本小题满分12分）已知函数（，）的部分图像如图所示。
（1）写岀函数的解析式及单调递减区间；
（2）求函数在区间上的值域。
【解析】（1）由图像可知，∴，∴， 2分
又，∴，，∴，，
∵，∴，∴， 4分
令，，解得，，
∴的单调递减区间为，； 6分
（2）由（1）知，调递减区间为，，
∵，∴在上单调递增，在上单调递减， 8分
∴，
、， 11分
∴函数在区间上的值域为。 12分
20．（本小题满分12分）已知函数（）。
（1）若，求在上的最小值和最大值；
（2）若在上是增函数，求实数的取值范围。
【解析】（1）的定义域为，∵，由得，解得， 2分
∴，令，即，解得或， 4分
极小值
∴在上的最小值是，最大值是； 6分
（2）由题意得：在区间上恒成立，∴， 8分
又当时，是增函数，其最小值为，∴， 9分
即实数的取值范围为。 10分
21．（本小题满分12分）在中，角、、所对的边分别为、、，，点是边上的一点，且。
（1）求证：；
（2）若，求。
【解析】（1）在中，，
由题意及余弦定理得：，整理得，
则，又，∴， 2分
在中，由正弦定理得，则，
在中，由正弦定理得，则，
则
，则； 5分
（2）由可得、，又，
则，
，
∵，∴，解得， 9分
又，则， 10分
由可得，则。 12分
22．（本小题满分12分）已知函数（、为实数）。
（1）当、时，若正实数、满足，证明：。
（2）当时，设，若恒成立，求实数的取值范围。
【解析】（1）当、时，，定义域为，则恒成立， 1分
∴在上为增函数，且，∴，
若、都大于，则，不合题意，同理、都小于也不满足， 2分
设，欲证，即证，即证，
即证，即证， 3分
构造函数，，
∴
， 4分
∴在区间上单调递增，∴，则原不等式得证； 5分
（2）当时，，
令，则，∴，下面证明：时符合题意， 6分
当时，，
只需证明，即证明， 7分
构造函数，定义域为，
则， 8分
令，定义域为，则，
令，解得，令，解得，
∴在上递减，在上递增，∴， 10分
∴当时，，当时，，
∴在上递减，在上递增，∴， 11分
综上所述，实数的取值范围为。 12分绝密★启用并使用完毕前 测试时间： 年 月 日 时 分—— 时 分
陕西省、青海省、四川省名校联盟2023-2024学年高三第二次月考复习模拟卷（理）03
（集合与逻辑语句，函数，导数，三角函数与解三角形）
本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，满分150分，考试时间120分钟
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知全集，设集合，集合，则（ ）。
A、 B、 C、 D、
2．已知，，则（ ）。
A、 B、 C、 D、
3．下列说法错误的是（ ）。
A、对于命题：，，则：，
B、“”是“”的充分不必要条件
C、若命题为假命题，则、都是假命题
D、命题“若，则”的逆否命题为“若，则”
4．函数的图像大致为（ ）。
A、 B、 C、 D、
5．设、、，则（ ）。
A、 B、 C、 D、
6．已知函数的导函数，且满足，则（ ）。
A、 B、 C、 D、
7．设集合，集合，定义，则中元素的个数是（ ）。
A、 B、 C、 D、
8．若都有成立，则实数的最大值为（ ）。
A、 B、 C、 D、
9．已知函数是定义在上的连续函数，其导函数的图像如图所示，则的极值点的个数为（ ）。
A、个 B、个 C、个 D、个
10．某莲藕种植塘每年的固定成本是元，每年最大规模的种植量是斤，每种植一斤藕，成本增加元。如果收入函数是（是莲藕的重量，单位：斤），则要使利润最大，每年需种植莲藕（ ）。
A、斤 B、斤 C、斤 D、斤
11．函数（、）的图像如图所示，、、是的图像与相邻的三个交点，与轴交于相邻的两个交点、，若在区间上，有个零点，则的最大值为（ ）。
A、
B、
C、
D、
12．已知函数，若函数仅有一个零点，则实数的取值范围为（ ）。
A、 B、 C、 D、
二、填空题：本题共4小题，每小题6分，共20分。
13．若，则 。
14．若命题“，”是假命题，则实数的取值范围为 。
15．已知公式，，借助这个公式，我们可以求函数（）的值域，则该函数的值域为 。
16．设函数是函数（）的导函数，为自然对数的底数，若函数满足， 且，则关于的不等式的解集为 。
三、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（本小题满分10分）已知幂函数在上单调递增，函数。
（1）求实数的值；
（2）当时，、的值域分别为集合、集合，设命题：，命题：，若命题是命题成立的必要条件，求实数的取值范围。
18．（本小题满分12分）已知函数（）是偶函数。
（1）求实数的值；
（2）若函数，，是否存在实数使得最小值为，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由。
19．（本小题满分12分）已知函数（，）的部分图像如图所示。
（1）写岀函数的解析式及单调递减区间；
（2）求函数在区间上的值域。
20．（本小题满分12分）已知函数（）。
（1）若，求在上的最小值和最大值；
（2）若在上是增函数，求实数的取值范围。
21．（本小题满分12分）在中，角、、所对的边分别为、、，，点是边上的一点，且。
（1）求证：；
（2）若，求。
22．（本小题满分12分）已知函数（、为实数）。
（1）当、时，若正实数、满足，证明：。
（2）当时，设，若恒成立，求实数的取值范围。
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