卷子答案网-一个不只有答案的网站2023-2024学年福建省莆田二中高二（上）返校数学试卷
一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 设，则( )
A. B. C. D.
2. 已知直线的一个方向向量为，则直线的倾斜角( )
A. B. C. D.
3. 设直线的斜率为，且，求直线的倾斜角的取值范围( )
A. B. C. D.
4. 已知向量，若，则( )
A. B. C. D.
5. 如图：在平行六面体中，为与的交点．若，，，则下列向量中与相等的向量是( )
A. B.
C. D.
6. 已知圆锥的底面半径为，为底面圆心，，为圆锥的母线，，若的面积等于，则该圆锥的体积为( )
A. B. C. D.
7. 已知为的外心，且若向量在向量上的投影向量为，其中，则的取值范围为( )
A. B. C. D.
8. 在棱长为的正方体中，为的中点，点在正方体各棱及表面上运动且满足，则点轨迹所围成图形的面积为( )
A. B. C. D.
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）
9. 已知直线的倾斜角等于，且经过点，则下列结论中正确的是( )
A. 的一个方向向量为 B. 的一个法向量为
C. 与直线平行 D. 与直线垂直
10. 有一组样本数据，，，，其中是最小值，是最大值，则( )
A. ，，，的平均数等于，，，的平均数
B. ，，，的中位数等于，，，的中位数
C. ，，，的标准差不小于，，，的标准差
D. ，，，的极差不大于，，，的极差
11. 如图，一个正八面体，八个面分别标以数字到，任意抛掷一次这个正八面体，观察它与地面接触的面上的数字，得到样本空间为，记事件“得到的点数为奇数”，记事件“得到的点数不大于”，记事件“得到的点数为质数”，则下列说法正确的是( )
A. 事件与互斥 B.
C. 事件与相互独立 D.
12. 下列物体中，能够被整体放入棱长为单位：的正方体容器容器壁厚度忽略不计内的有( )
A. 直径为的球体
B. 所有棱长均为的四面体
C. 底面直径为，高为的圆柱体
D. 底面直径为，高为的圆柱体
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13. 已知向量，满足，，则 ______
14. 过点且在轴、轴上截距相等的直线方程为______ ．
15. 甲、乙两人下围棋，若甲执黑子先下，则甲胜的概率为；若乙执黑子先下，则乙胜的概率为假定每局之间相互独立且无平局，第二局由上一局负者先下，若甲、乙比赛两局，第一局甲、乙执黑子先下是等可能的，则甲胜第一局，乙胜第二局的概率为______ ．
16. 已知四棱锥的底面是边长为的正方形，底面，，则四棱锥外接球表面积为______ ；若点是线段上的动点，则的最小值为______ ．
四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 本小题分
甲、乙两人进行乒乓球比赛，已知每局比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，且各局比赛的胜负互不影响有两种比赛方案供选择，方案一：三局两胜制先胜局者获胜，比赛结束；方案二：五局三胜制先胜局者获胜，比赛结束．
若选择方案一，求甲获胜的概率；
用抛掷骰子的方式决定比赛方案，抛掷两枚质地均匀的骰子，观察两枚骰子向上的点数，若“两枚骰子向上的点数之和不大于”则选择方案一；否则选择方案二判断哪种方案被选择的可能性更大，并说明理由．
18. 本小题分
已知直线的方程为．
求直线过的定点的坐标；
直线与轴正半轴和轴正半轴分别交于点，，当面积最小时，求直线的方程；
19. 本小题分
如图，在正四棱柱中，，点，，，分别在棱，，，上，，，．
证明：；
点在棱上，当二面角为时，求
20. 本小题分
已知的顶点，边上的高所在的直线方程为．
求直线的方程；
在两个条件中任选一个，补充在下面问题中．
角的平分线所在直线方程为
边上的中线所在的直线方程为_____，求直线的方程．
21. 本小题分
为庆祝“五四”青年节，广州市有关单位举行了“五四”青年节团知识竞赛活动，为了解全市参赛者成绩的情况，从所有参赛者中随机抽样抽取名，将其成绩整理后分为组，画出频率分布直方图如图所示最低分，最高分，但是第一、二两组数据丢失，只知道第二组的频率是第一组的倍．
求第一组、第二组的频率各是多少？
现划定成绩大于或等于上四分位数即第百分位数为“良好”以上等级，根据直方图，估计全市“良好”以上等级的成绩范围保留位小数；
现知道直方图中成绩在内的平均数为，方差为，在内的平均数为，方差为，求成绩在内的平均数和方差．
22. 本小题分
如图，在三棱柱中，底面是边长为的等边三角形，，，分别是线段，的中点，二面角为直二面角．
求证：平面；
若点为线段上的动点不包括端点，求锐二面角的余弦值的取值范围．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：，，
，
．
故选：．
先对进行化简，再根据共轭复数概念写出即可．
本题考查了复数的运算及共轭复数的概念，属简单题．
2.【答案】
【解析】解：因为直线的一个方向向量为，
所以直线的斜率，
又因为，
所以．
故选：．
由直线的一个方向向量求出直线斜率，从而可得答案．
本题考查了直线的倾斜角，是基础题．
3.【答案】
【解析】解：直线的斜率为，且，
，，
，，
故选：．
直线的斜率为，且，可得，，即可得出．
本题考查了直线的斜率与倾斜角的关系、三角函数求值，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
4.【答案】
【解析】解：，，
，，
由，得，
整理得：，即．
故选：．
由已知求得与的坐标，再由两向量垂直与数量积的关系列式求解．
本题考查平面向量加法与数乘的坐标运算，考查两向量垂直与数量积的关系，是基础题．
5.【答案】
【解析】【分析】
利用向量的运算法则：三角形法则、平行四边形法则表示出．
本题考查利用向量的运算法则将未知的向量用已知的基底表示从而能将未知向量间的问题转化为基底间的关系解决．
【解答】
解：
故选：．
6.【答案】
【解析】解：根据题意，设该圆锥的高为，即，取的中点，连接、，
由于圆锥的底面半径为，即，
而，故AB，
同时，
中，，为的中点，则有，
又由的面积等于，即，变形可得，
而，则有，解可得，
故该圆锥的体积
故选：．
根据题意，设该圆锥的高为，即，取的中点，连接，利用余弦定理求出的长，分析可得，由三角形面积公式求出的长，由此求出的值，由圆锥的体积计算可得答案．
本题考查圆锥的体积计算，注意圆锥的体积计算公式，属于基础题．
7.【答案】
【解析】解：因为，
所以，
又因为为的外心，
所以为直角三角形且，为斜边的中点，
过作的垂线，垂足为，
因为在上的投影向量为，
所以在上的投影向量为，
又因为，所以，
因为，所以，即的取值范围为．
故选：．
根据题意得到，过作的垂线，由在上的投影向量为，求得，又由，得到，结合，即可求解．
本题主要考查投影向量的定义，属于基础题．
8.【答案】
【解析】解：分别取、的中点、，连接、、，设，
在正方体中，且，
因为、分别为、的中点，则且，
故四边形为平行四边形，故EF且，
因为且，且，故四边形为平行四边形，
因为，，，故≌，
所以，，则，
所以，，故C，
平面，、平面，
，，，、平面，
平面，
若点在平行四边形的边上运动时不包括点，
则平面，故C，
由勾股定理可得，易知四边形为矩形，
故点轨迹所围成图形的面积即为矩形的面积，即为．
故选：．
分别取、的中点、，连接、、，设，推导出四边形为平行四边形，证明出平面，分析可知，当点在平行四边形的边上运动时不包括点，，计算出矩形的面积，即为所求．
本题考查正方体的截面面积的求解，属中档题．
9.【答案】
【解析】解：直线的倾斜角等于，
则直线的斜率为，
对于，直线的斜率为，
则直线的一个方向向量为，故A正确，
对于，法向量与直线不垂直，故B错误，
对于，直线的斜率为，故C正确，
对于，直线的斜率为，
则，
故与直线垂直，故D正确．
故选：．
根据已知条件，结合方向向量，法向量的定义，以及直线平行、垂直的性质，即可求解．
本题主要考查方向向量，法向量的定义，以及直线平行、垂直的性质，属于基础题．
10.【答案】
【解析】解：选项，，，，的平均数不一定等于，，，的平均数，A错误；
选项，，，，的中位数等于，，，，的中位数等于，B正确；
选项，设样本数据，，，为，，，，，，可知，，，的平均数是，，，，的平均数是，
，，，的方差，
，，，的方差，
，，C错误．
选项，，，，D正确．
故选：．
根据平均数，中位数，标准差，极差的概念逐一判定即可．
本题考查平均数、中位数、标准差、极差的计算，是基础题．
11.【答案】
【解析】解：由题意得，事件的样本点为，
事件的样本点为，
事件的样本点为，
对于，事件与共有样本点，，所以不互斥，故A错误；
对于，事件样本点，所以，故B正确；
对于，，，事件样本点，所以，所以事件与不相互独立，故C错误；
对于，事件样本点，所以，故D正确．
故选：．
根据古典概型与事件独立的乘法公式进行计算与判断．
本题考查古典概型与事件独立的乘法公式，属于基础题．
12.【答案】
【解析】解：对于，棱长为的正方体内切球的直径为，选项A正确；
对于，如图，
正方体内部最大的正四面体的棱长为，选项B正确；
对于，棱长为的正方体的体对角线为，选项C错误；
对于，如图，六边形为正六边形，，，，，，为棱的中点，
高为米可忽略不计，看作直径为米的平面圆，
六边形棱长为米，，
所以米，故六边形内切圆半径为米，
而，选项D正确．
故选：．
对于，由正方体的内切球直径大于可判断；对于，由正方体内部最大的正四面体的棱长大于可判断；对于，由正方体的体对角线小于可判断；对于，取，，，，，都为棱中点，则六边形为正六边形，由正六边形的内切圆直径大于可判断．
本题考查简单几何体的体积，考查空间想象能力与运算求解能力，属于中点题．
13.【答案】
【解析】解：，，
，，
，，
．
故答案为：．
根据向量数量积的性质及方程思想，即可求解．
本题考查向量数量积的性质及方程思想，属基础题．
14.【答案】或
【解析】解：由题知，若在轴、轴上截距均为，
即直线过原点，又过，则直线方程为，
若截距不为，设在轴、轴上的截距为，
则直线方程为，
又直线过点，
则，解得，
所以此时直线方程为．
故答案为：或．
分截距为和不为两种情况讨论即可得解．
本题主要考查了直线的一般方程，属于基础题．
15.【答案】
【解析】解：第一局甲胜，第二局乙胜：
若第一局甲执黑子先下，则甲胜第一局的概率为，第二局乙执黑子先下，则乙胜的概率为，
若第一局乙执黑子先下，则甲胜第一局的概率为，第二局乙执黑子先下，则乙胜的概率为，
所以第一局甲胜，第二局乙胜的概率为．
故答案为：．
分析出每局输赢的情况，结合独立事件和互斥事件的概率公式可求得所求事件的概率．
本题考查独立事件和互斥事件的概率公式，属于基础题．
16.【答案】
【解析】解：设中点为，则，
所以为四棱锥外接球的球心，为该球半径，
所以其表面积为；
如图，将绕翻折到与所在面重合，
连接，交于点，此时最小，
最小值为
．
故答案为：；．
设中点为，则，可得外接球的球心与半径，从而可求外接球的表面积；将绕翻折到与所在面重合，
连接，交于点，此时最小，求解即可．
本题考查求空间几何体的外接球的表面积，考查距离和的最小值问题，属中档题．
17.【答案】由题意可得，选择方案一，三局两胜制，记甲获胜的事件为
甲获胜事件包含甲连胜两局记为；甲第一局负，第二、三局胜记为；
甲第一局胜，第二局负、第三局胜记为且，，，互斥，且每局比赛相互独立，
则，，
，
甲获胜的概率为．
抛掷两枚质地均匀的骰子，设向上的点数为，有个样本点，
为，，，，，，，
，，，，，，，
，，，，，，，
，，，，，，，
，，，，，，，，
两点数之和不大于的样本点有个：，，，，
，，，，，，，
，，，．
记事件为“两点数之和不大于”，．
记事件为“点数之和大于”，．
，方案二被选择的可能性更大．
【解析】由互斥事件及相互独立事件的概率乘法公式即可得解；
根据题意，求出采用方案一的概率，由此可得采用方案二的概率，比较可得答案．
本题考查互斥事件、相互独立事件概率的计算，注意分析事件之间的关系，属于基础题．
18.【答案】解：由题意，直线的方程可化为，
联立方程组，解得，
所以直线过的定点．
设直线，则，，
由 知，直线 过的定点，可得，
因为，，
所以，解得，
当且仅当且即，时，等号成立，
所以面积为，
此时对应的直线方程为，即．
【解析】将直线的方程变形，列出方程组即可求解；
利用直线的截距式方程设出直线的方程，根据的结论及基本不等式，结合三角形的面积公式即可求解．
本题主要考查直线方程，同时也涉及了基本不等式的运用，考查运算求解能力，属于中档题．
19.【答案】解：证明：根据题意建系如图，则有：
，，，，
，，
，又，，，四点不共线，
；
在的坐标系下，可设，，
又由知，，，
，，，
设平面的法向量为，
则，取，
设平面的法向量为，
则，取，
根据题意可得，，
，
，又，
解得或，
为的中点或的中点，
．
【解析】建系，根据坐标法及向量共线定理，即可证明；
建系，根据向量法，向量夹角公式，方程思想，即可求解．
本题考查利用向量法证明线线平行，利用向量法求解二面角问题，向量共线定理及向量夹角公式的应用，方程思想，属中档题．
20.【答案】解：因为边上的高所在的直线方程为，
所以直线的斜率为，又的顶点，
所以直线的方程为，即；
若选，角的平分线所在直线方程为，
由，解得，所以点坐标为，
设点关于的对称点为，
则，解得，即坐标为，
又点在直线上，所以，
所以直线的方程为，即；
若选：边上的中线所在的直线方程为，
由，解得，所以点，
设点，则的中点在直线上，
所以，即，
所以点在直线上，又点在直线上，
联立，解得，即，
所以，所以直线的方程为，
故直线的方程为．
【解析】根据边上的高所在的直线方程，可求得直线的斜率，再求出直线的方程；
选，先求出点坐标，再求得点关于角的平分线的对称点坐标，该对称点一定在直线上，由此可求得直线的方程；
选，联立方程，先求出点坐标，根据边上的中线所在的直线方程，求出点坐标满足，联立方程求出点坐标，即可求得直线的方程．
本题主要考查直线的一般式方程与直线垂直的关系，属于中档题．
21.【答案】解：设第一组的频率为，则第二组的频率为，
由题意可得，解得，
因此，第一组的频率为，第二组的频率为；
设样本的第百分位数为，前三个矩形的面积之和为，
前四个矩形的面积之和为，所以，，
由百分位数的定义可得，解得，
所以，估计全市“良好”以上等级的成绩范围为；
成绩在的频数为，成绩在的频数为，
又因为直方图中成绩在内的平均数为，方差为，在内的平均数为，方差为，
所以，成绩在内的平均数为，
方差为．
【解析】设第一组的频率为，则第二组的频率为，利用频率分布直方图中所有矩形的面积之和为可求得的值，即可得解；
计算出样本的第百分位数，即可得出全市“良好”以上等级的成绩范围；
利用总体的平均数和方差公式可求得结果．
本题考查频率分布直方图的性质以及应用，涉及平均数、方差的计算，属于基础题．
22.【答案】解：证明：连接，如图所示：
在三棱柱中，四边形为菱形，，
，分别为，中点，，
，
又为线段中点，是等边三角形，
，
又二面角为直二面角，即平面平面，且平面平面，平面，
平面，又平面，
，
又，平面，平面，
平面；
，，
为等边三角形，，
平面平面，平面平面，平面，
平面，
则建立以为坐标原点，以，，所在直线分别为，，轴的空间直角坐标系，如图所示：
则，，，，，，，
，，，，
设，，即，
，即，
，
由得平面，
平面的一个法向量，
设平面的法向量，
则，取，则，，
平面的法向量为，
，
令，则，
，
，
令，则，
，
故锐二面角的余弦值的取值范围为．
【解析】由题意得，利用线面垂直判定定理得平面，可得，即可证明结论；
利用线面垂直判定定理得平面，建立以为坐标原点，以，，所在直线分别为，，轴的空间直角坐标系，设，，求出两个平面的法向量，利用向量法，即可得出答案．
本题考查直线与平面垂直和二面角、空间向量的应用，考查转化思想和数形结合思想，考查逻辑推理能力和运算能力、直观想象，属于中档题．
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