卷子答案网-一个不只有答案的网站2023-2024学年新疆昌吉州呼图壁重点中学高二（上）开学期初数学试卷
一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1.若复数满足，其中为虚数单位，则( )
A. B. C. D.
2.已知向量，，若，则( )
A. B. C. D.
3.如图是正方体的平面展开图，在原正方体中：
与所在直线平行；
与所在直线异面；
与所在直线互相垂直；
与所在直线成角是．
以上四个命题中，正确命题的序号是( )
A.
B.
C.
D.
4.在件产品中，有件一级品和件二级品，从中任取件，下列事件中概率为的是( )
A. 都是一级品 B. 都是二级品
C. 一级品和二级品各件 D. 至少有件二级品
5.在中，内角、满足，则的形状是( )
A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等腰或直角三角形
6.某班在体育课上组织趣味游戏，统计了第一组名学生的最终得分：，，，，，，，，，，，，，这组数据的第百分位数是( )
A. B. C. D.
7.在中，边上的中线与边上的中线的交点为，若，则( )
A. B. C. D.
8.已知三棱锥的顶点都在球的球面上，底面是边长为的等边三角形若三棱锥的体积的最大值为，则球的表面积为( )
A. B. C. D.
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）
9.某学生社团有男生名，女生名，从中随机抽取一个容量为的样本，某次抽样结果为：抽到名男生和名女生，则下列说法正确的是( )
A. 这次抽样可能采用的是抽签法
B. 这次抽样不可能是按性别分层随机抽样
C. 这次抽样中，每个男生被抽到的概率一定小于每个女生被抽到的概率
D. 这次抽样中，每个男生被抽到的概率不可能等于每个女生被抽到的概率
10.下列说法正确的是( )
A. 复数的虚部为
B. 方程的复数根为
C. 若，则复平面内对应的点位于第二象限
D. 复平面内，实轴上的点对应的复数是实数
11.下列命题正确的是( )
A. 对立事件一定是互斥事件
B. 若为不可能事件，则
C. 若事件，，两两互斥，则
D. 事件，满足，则，是对立事件
12.已知圆锥的顶点为，底面圆心为，为底面直径，，，点在底面圆周上，且二面角为，则( )
A. 该圆锥的体积为 B. 该圆锥的侧面积为
C. D. 的面积为
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13.如图是用斜二测画法画出的水平放置的正三角形的直观图，其中，则三角形的面积为______ ．
14.已知，是两个平面，，是两条直线有下列命题：
如果，，那么；如果，，，那么；
如果，，那么；如果，，，那么．
其中所有真命题的序号是______ ．
15.已知样本，，，，的平均数为，方差为，则 ______ ．
16.在中，角，，的对边分别为，，，若，，，则的面积是______．
四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17.本小题分
已知复数，．
若的实部与的模相等，求的值；
若复数在复平面上的对应点在第四象限，求的取值范围．
18.本小题分
已知，，且与的夹角为．
求；
求与的夹角的余弦值．
19.本小题分
如图，四棱锥中，底面为矩形，底面，为的中点．
证明：平面；
设，，四棱锥的体积为，求证：平面平面．
20.本小题分
某工厂有工人名，其中名工人参加过短期培训称为类工人，另外名工人参加过长期培训称为类工人现用分层抽样方法按类，类分二层从该厂的工人中共抽取名工人，调查他们的生产能力．生产能力指一天加工的零件数
类工人和类工人各抽取多少人；
将类工人的抽查结果分别绘制成频率分布直方图如图，根据频率分布直方图通过计算估计类工人的中位数，众数，平均数同一组中的数据用该组区间的中点值作代表；
就生产能力而言，类工人中个体间的差异程度与类工人个体间的差异程度哪个更小？不用计算，可通过观察直方图直接回答结论．
21.本小题分
甲乙二人有张扑克牌分别是红桃，红桃，红桃，方片玩游戏，他们将扑克牌洗匀后，背面朝上放在桌面上，甲先抽，乙后抽，抽出的牌不放回，各抽一张．
写出甲乙抽到牌的所有情况．
若甲抽到红桃，则乙抽出的牌面数字比大的概率是多少？
甲乙约定，若甲抽到的牌的数字比乙大，则甲胜；否则乙胜，你认为此游戏是否公平？为什么？
22.本小题分
记的内角，，的对边分别为，，，已知．
求；
从下面三个条件中选择两个作为已知条件，求与的值．
条件：；条件：的面积为；条件：．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：设复数，则，
则，则，，
所以．
故选：．
设复数，则，根据复数的加减法与复数相等求得结果．
本题主要考查共轭复数的定义，以及复数的四则运算，属于基础题．
2.【答案】
【解析】【分析】
本题考查向量平行的坐标表示方法，属于基础题．
根据题意，由向量平行的坐标表示公式可得若，则有，即，解可得的值，即可得答案．
【解答】
解：根据题意，向量，，
若，则有，即，
解可得；
故选B．
3.【答案】
【解析】解：如图，直线与是异面直线，故错误；
直线与是异面直线，故正确；
直线，故错误；
如图，，所以异面直线与所成角为，
而三角形是等边三角形，所以，故正确．
故选：．
首先还原正方体，再根据线线的位置关系，判断选项．
本题考查空间中直线的位置关系，属于基础题．
4.【答案】
【解析】解：设，，分别表示件一级品，，分别表示件二级品．任取件，
则样本空间，共个样本点，每个样本点出现的可能性相等．
记事件表示“件都是一级品”，包含个样本点，则．
记事件表示“件都是二级品”，包含个样本点，则．
记事件表示“件中件是一级品、件是二级品”，包含个样本点，则
事件，，两两互斥，所以，而表示“至少有件二级品”．
故选：．
设，，分别表示件一级品，，分别表示件二级品．任取件，则样本空间，求出每一个选项对应的事件的概率，即得解．
本题考查古典概型相关知识，属于基础题．
5.【答案】
【解析】解：法：，
，
或，
或，
则一定是直角三角形或等腰三角形．
法：，且和为三角形的内角，
或，即或，
则一定是等腰或直角三角形．
故选：．
解法：利用题设等式，根据和差化积公式整理求得或，推断出或，即可判断出三角形的形状．
解法：由两角的正弦值相等及和为三角形的内角，得到两角和相等或互补，即与相等或互余，进而确定出三角形的形状．
此题考查了三角形形状的判断，涉及的知识有：正弦、余弦函数的图象与性质，积化和差公式，以及等腰三角形的判定，解题的关键是挖掘题设信息，借助三角函数的基本公式和基本性质找到边与边或角与角之间的关系．
6.【答案】
【解析】解：根据题意，将名学生的最终得分从小到大排列为：，，，，，，，，，，，，，，
由于，则这组数据的第百分位数是．
故选：．
根据题意，将个数据从小到大排列，分析可得答案．
本题考查百分位数的计算，注意百分位数的计算公式，属于基础题．
7.【答案】
【解析】解：由题可知为三角形的重心，则，
，，
．
故选：．
利用平面向量的基本定理结合条件即得．
本题主要考查平面向量的基本定理，属于基础题．
8.【答案】
【解析】解：如图，
设球的半径为，的外心为，
由题意得外接圆半径为，面积为，
，
可得三棱锥体积的最大值：
，
得，解得．
球的表面积为．
故选：．
设球的半径为，的外心为，由题意可得外接圆的半径及面积，即可得，代入体积公式，结合题意得值，再代入球的表面积公式得答案．
本题考查多面体的外接球，考查空间想象能力与思维能力，考查运算求解能力，是中档题．
9.【答案】
【解析】解：根据抽样结果，此次抽样可能采用的是抽签法，故A正确；
若按分层抽样，则抽得的男女人数应为人，人，
所以这次抽样不可能是按性别分层随机抽样，故B正确；
若按抽签法，则每个男生被抽到的概率和每个女生被抽到的概率均相等，故C，D错误．
故选：．
根据抽样方法的概念求解即可．
本题主要考查简单随机抽样，属于基础题．
10.【答案】
【解析】解：对于，，虚部为，A错误；
对于，，
则，解得，故B正确；
对于，，则，
复平面内对应的点在轴负半轴上，故C错误；
对于，复平面内，实轴上的点对应的复数是实数，D正确．
故选：．
对于，结合复数的四则运算，虚部的定义，即可求解；
对于，结合复数的四则运算，即可求解；
对于，结合复数的四则运算，共轭复数的定义，复数的几何意义，即可求解；
对于，结合复数的几何意义，即可求解．
本题主要考查复数的四则运算，考查转化能力，属于基础题．
11.【答案】
【解析】解：选项A：根据对立事件的概念可得A正确，
为不可能事件，
则，
故，故B正确；
选项C：不一定等于，可能会小于，故C错误，
选项D：事件：抛掷枚均匀的硬币，朝上的概率是，事件：抛掷一枚均匀的骰子所得点数为偶数的概率为，
但是，不对立，故D错误，
故选：．
根据互斥事件与对立事件的概念对应各个选项逐个判断即可．
本题考查了互斥事件与对立事件的概念，考查了学生的理解能力，属于基础题．
12.【答案】
【解析】解：取中点，则，，
由二面角的定义可知，二面角的平面角即为，
对于，中，由于，，
则，，
则，，选项A正确．
对于，，选项B错误．
对于，，选项C正确．
对于，，，选项D错误．
故选：．
作图，取中点，易知，然后再逐项分析判断即可．
本题考查二面角的定义，考查立体几何中的距离求解，考查运算求解能力，属于中档题．
13.【答案】
【解析】解：根据题意，作出原图正三角形，如图：
则，则，
则，
故直观图三角形的面积．
故答案为：．
根据题意，作出原图正三角形，求出三角形的面积，结合原图与直观图的面积关系分析可得答案．
本题考查直观图的画法，涉及斜二测画法，属于基础题．
14.【答案】
【解析】解：由，是两个平面，，是两条直线，知：
对于，如果，，那么或，故错误；
对于，如果，，，那么由线面平行的性质得，故正确；
对于，如果，，那么由面面平行的性质得，故正确；
对于，如果，，，那么与相交、平行或，故错误．
故答案为：．
对于，或；对于，由线面平行的性质得；对于，由面面平行的性质得；对于，与相交、平行或．
本题考查命题真假的判断，涉及到空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、空间想象能力等核心素养，是中档题．
15.【答案】
【解析】解：因为样本，，，，的平均数为，
所以，化简得，
由方差定义可得，
即，
可化为，
将代入，解得．
故答案为：．
根据平均数和方差的定义列方程组，即可求得的值．
本题考查了平均数和方差的定义与应用问题，也考查了运算求解能力，是基础题．
16.【答案】
【解析】解：由余弦定理知，，
所以，即，解得，
所以的面积．
故答案为：．
先利用余弦定理求得，再由，得解．
本题考查解三角形，熟练掌握余弦定理，三角形面积公式是解题的关键，考查运算求解能力，属于基础题．
17.【答案】解：因为的实部与的模相等，所以，解得或．
复数在复平面上的对应点在第四象限，则，，解得，故的取值范围为．
【解析】的实部与的模相等，，解得即可．
复数在复平面上的对应点在第四象限，，则，，求解即可．
本题考查复数的性质与基本运算，属于中档题．
18.【答案】解：，，且与的夹角为，
，
；
，，且与的夹角为，
，
又由知，
，．
【解析】根据向量数量积的性质与定义，即可求解；
根据向量数量积的性质与定义，向量夹角公式，即可求解．
本题考查向量数量积的性质与定义，向量夹角公式，属中档题．
19.【答案】证明：连接交于点，连结，
为矩形，为的中点，
又为的中点，，
平面，平面，
平面；
，且，，
，则底面为正方形，得，
平面，平面，，
又，且，平面，
平面，又平面，
平面平面．
【解析】连接交于点，连结，可得，再由直线与平面平行的判定可得平面；
由已知结合棱锥的体积公式可得，得到底面为正方形，得，由已知得，再利用直线与平面垂直的判定得到平面，进一步可得平面平面．
本题考查直线与平面平行、平面与平面垂直的判定，考查空间想象能力与思维能力，是中档题．
20.【答案】解：由分层抽样的定义可得，类工人抽取人，
类工人抽取人．
设中位数为，
由频率分布直方图可得，，，
，且，解得，
故中位数为，
由频率分布直方图可得，众数为，
平均数，
故平均数为．
根据频率分布直方图可判断类工人个体间的差异程度更小．
【解析】根据已知条件，结合分层抽样的定义，即可求解．
根据频率分布直方图，利用中位数、众数、平均数的定义，以及公式，即可求解．
根据频率分布直方图直接可得结论．
本题主要考查频率分布直方图的应用，考查计算能力，属于基础题．
21.【答案】解：方片用表示，则甲乙抽到牌的所有情况为：
，，，，，，
，，，，，，
共种不同的情况；
甲抽到，乙抽到的只能是，，，
因此乙抽出的牌面数字比大的概率是；
甲抽到的牌的数字比乙大，有，，，
，共种情况，
甲胜的概率为，乙胜的概率为，
，此游戏不公平．
【解析】本题考查古典概型及其概率公式，列举法是解决问题的关键，属基础题．
方片用表示，列举可得共种不同的情况；
甲抽到，乙抽到的只能是，，，所求概率为；
列举可得甲胜的概率为，乙胜的概率为，此游戏不公平．
22.【答案】解：由条件与正弦定理可知，，所以，
又，所以．
选择．
由得，
由得，所以，
又，所以由余弦定理得，
即，所以，
解得，或，故与的值分别为，或，．
选择．
由余弦定理得，即，所以，
解得，或，故与的值分别为，或，．
选择．
由得，
由得，所以，
又，解得，或，．
故与的值分别为，或，．
【解析】由正弦定理角化边即可求出；
选择，由三角形的面积公式和余弦定理即可求解；选择，由余弦定理即可求解；选择，由余弦定理结合即可求解；
本题主要考查解三角形，考查转化能力，属于中档题．
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