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浙教版2023年九年级上学期第一次月考模拟试卷
考试范围：九上第1章、第2章 考试时间：120分钟 试卷满分：120分
一．选择题（共10小题，共30分）
1．将抛物线y＝3x2先向左平移1个单位，再向下平移2个单位，所得抛物线的解析式为（ ）
A．y＝3（x﹣1）2+2 B．y＝3（x+1）2﹣2
C．y＝3（x+1）2+2 D．y＝3（x﹣1）2﹣2
【分析】直接根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可．
【解答】解：将抛物线y＝3x2先向左平移1个单位，再向下平移2个单位，所得抛物线的表达式为：y＝3（x+1）2﹣2．
故选：B．
2．如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且∠OBC＝45°，则下列各式成立的是（ ）
A．b﹣c﹣1＝0 B．b+c﹣1＝0 C．b﹣c+1＝0 D．b+c+1＝0
【分析】根据∠OBC＝45°，有OB＝OC，可设点C，B的坐标为（0，c），（c，0），把点B（c，0）代入二次函数y＝x2+bx+c，得c2+bc+c＝0，从而求出关系式．
【解答】解：∵∠OBC＝45°，
∴OB＝OC，
∴点C，B的坐标为（0，c），（c，0）；
把点B（c，0）代入二次函数y＝x2+bx+c，得c2+bc+c＝0，
即c（c+b+1）＝0，
∵c≠0，
∴b+c+1＝0．
故选：D．
3．如图是一个游戏转盘，自由转动转盘，当转盘停止转动后，指针落在”I“所示区域的概率是（ ）
A． B． C． D．
【分析】用“Ⅰ”所示区域的圆心角除以周角即可．
【解答】解：由图知，指针落在数字“Ⅰ”所示区域内的概率是＝＝．
故选：D．
4．若点A（﹣3，y1），B（，y2），C（2，y3）在二次函数y＝x2+2x+1的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（ ）
A．y2＜y1＜y3 B．y1＜y3＜y2 C．y1＜y2＜y3 D．y3＜y2＜y1
【分析】根据抛物线的对称轴和开口方向，再由A，B，C三个点离对称轴的远近，即可解决问题．
【解答】解：由题知，
抛物线y＝x2+2x+1的开口向上，且对称轴是直线x＝﹣1，
所以函数图象上的点，离对称轴越近，函数值越小．
又，
所以y2＜y1＜y3．
故选：A．
5．如图，二次函数y1＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与一次函数y2＝kx+m（k≠0）的图象相交于A，B两点，已知点A横坐标为﹣4，AC＝8BC，当ax2+（b﹣k）x＜m﹣c时，x的取值范围是（ ）
A．﹣4＜x＜1 B．x＜﹣4或x＞ C．x＜4或x＞1 D．﹣4＜x＜
【分析】过点A作AM⊥y轴，BN⊥y轴，则∠AMC＝∠BNC＝90°，证明△AMC∽△BNC，求出点B的横坐标即可．
【解答】解：过点A作AM⊥y轴，BN⊥y轴，则∠AMC＝∠BNC＝90°，
∵∠ACM＝∠BCN，
∴△AMC∽△BNC，
∴，
∵点A横坐标为﹣4，即AM＝4，
∴BN＝，
∴ax2+（b﹣k）x＜m﹣c，即ax2+bx+c＜kx+m的取值范围是：x＜﹣4或x＞．
故选：B．
6．已知二次函数y＝x2﹣ax，当﹣1≤x≤2时，y的最小值为﹣2，则a的值为（ ）
A．或﹣3 B．3或﹣3 C．或 D．
【分析】先根据解析式求出二次函数的对称轴为直线x＝，然后分三种情况进行讨论即可．
【解答】解：∵y＝x2﹣ax，
∴对称轴为直线x＝，开口向上，
①当时，a≤﹣2，
此时函数在x＝﹣1处取得最小值为﹣2，
∴1+a＝﹣2，
解得a＝﹣3，
②当﹣1＜＜2时，﹣2＜a＜4，
此时函数的最小值在顶点处，即x＝，y＝﹣2，
∴﹣a ＝﹣2，
解得a＝2或﹣2（舍去），
③当≥2时，a≥4，
此时函数在x＝2处取得最小值为﹣2，
∴4﹣2a＝﹣2，
解得a＝3（舍去）．
综上a的值为﹣3或2．
故选：A．
7．二次函数y＝ax2﹣2x+1和一次函数y＝ax﹣a（a是常数，且a≠0）在同一平面直角坐标系的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】分别根据选项中二次函数的开口方向判断a的正负，然后根据a的正负判断对称轴的位置以及一次函数图象经过的象限即可得出答案．
【解答】解：A：根据图象可得二次函数开口向上，则a＞0，此时一次函数y＝ax﹣a的图象经过一三四象限，而图中是经过一次函数图象是经过一二四象限，故选项A不符合题意；
B：根据图象可得二次函数开口向上，则a＞0，对称轴x＝＝＞0，对称轴在y轴的右边，图象符合要求，此时此时一次函数y＝ax﹣a的图象经过一三四现象，图中所给符合要求，故选项B符合题意；
C：根据图象可得二次函数开口向上，则a＞0，对称轴x＝＝＞0，对称轴在y轴的右边，而图中所给对称轴在y轴左边，故选项C不符合题意；
D：根据图象可得二次函数开口向下，则a＜0，当a＜0时，一次函数y＝ax﹣a的图象经过一二四象限，图中所给是经过一三四象限，故选项D不符合题意；
故选：B．
8．将进货价格为35元的商品按单价40元售出时，能卖出200个．已知该商品单价每上涨1元，其销售量就减少5个．设这种商品的售价上涨x元时，获得的利润为y元，则下列关系式正确的是（ ）
A．y＝（x﹣35）（200﹣5x） B．y＝（x+40）（200 10x）
C．y＝（x+5）（200﹣5x） D．y＝（x+5）（200 10x）
【分析】根据售价减去进价表示出实际的利润．
【解答】解：根据题意可得：y＝（40+x﹣35）（200﹣5x）＝（x+5）（200﹣5x），
故选：C．
9．二次函数y＝x2﹣4x+n与x轴只有一个交点．若关于x的方程x2﹣4x+n＝t（t为实数），在0＜x＜5范围内有解．则t的取值范围是（ ）
A．0≤t＜4 B．0≤t＜9 C．4＜t＜9 D．t≥0
【分析】根据二次函数y＝x2﹣4x+n与x轴只有一个交点．可以求得n的值，再根据关于x的方程x2﹣4x+n＝t（t为实数），在0＜x＜5范围内有解和二次函数的性质，即可得到t的取值范围．
【解答】解：∵二次函数y＝x2﹣4x+n与x轴只有一个交点．
∴（﹣4）2﹣4×1×n＝0，
解得n＝4，
∴二次函数y＝x2﹣4x+4＝（x﹣2）2，
∴该函数的对称轴为直线x＝2，图象开口向上，顶点坐标为（2，0），
∴当x＝5时，y＝9，当x＝0时，y＝4，
∵关于x的方程x2﹣4x+n＝t（t为实数），在0＜x＜5范围内有解．
∴0≤t＜9，
故选：B．
10．已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）经过不同的两点A（2﹣m，n），B（m，n），下列说法正确的是（ ）
A．若m＞2时都有n＞c，则a＜0
B．若m＞1 时都有n＜c，则a＜0
C．若m＜0时都有n＞c，则a＞0
D．若m＜0时都有n＜c，则a＞0
【分析】根据A、B两点的纵坐标相同，可求得抛物线的对称轴为直线x＝1，再由对称轴公式即可求得答案；
【解答】解：∵抛物线y＝ax2+bx+c经过A（2﹣m，n），B（m，n）两点，
∴抛物线的对称轴为直线x＝＝1．
对于A选项，若m＞2时，
∴2﹣m＜0＜1．
又n＞c，
∴此时，y随x的增大而减小．
∴抛物线开口向上．
∴a＞0，故A不符合题意．
对于B选项，若m＞1 时，
∴0＜1＜m．
此时（0，c）关于对称轴对称的点为（2，c），
若n＜c，
∴a＞0或a＜0．
∴选项B不符合题意．
若m＜0时，
∴m＜0＜1．
又n＞c，
∴此时，y随x的增大而减小．
∴抛物线开口向上．
∴a＞0，故C符合题意．
若m＜0时，
∴m＜0＜1．
又n＜c，
∴此时，y随x的增大而增大．
∴抛物线开口向下．
∴a＜0，故D不符合题意．
故选：C．
二．填空题（共6小题，共24分）
11．二次函数y＝（x﹣2）2+3，当﹣1＜x＜4时，y的取值范围为 3≤y＜12 ．
【分析】由二次函数解析式可知，函数对称轴为直线x＝2，在x＝﹣1和x＝4之间，可确定y的最小值在x＝2处取得，再求出x＝﹣1和x＝4时y的值，可得出y的最大值，即可确定y的范围．
【解答】解：∵二次函数y＝（x﹣2）2+3，
∴函数的对称轴为直线x＝2，
当x＝﹣1时，y＝12，
当x＝2时，y＝3，
当x＝4时，y＝7，
∴当﹣1＜x＜4时，y的取值范围为3≤y＜12，
故答案为：3≤y＜12．
12．袋子里有四个完全相同的球，球上分别标有数字﹣1，﹣3，1，4，随机摸出一个球，记下数字为k：不放回，再随机摸出一个球，记下数字为b，则y＝kx+b的图象经过第三象限的概率为 ．
【分析】根据一次函数的性质可知：当k＞0或k＜0，b＜0时，y＝kx+b的图象经过第三象限，然后画出相应的树状图，即可求得相应的概率．
【解答】解：∵y＝kx+b的图象经过第三象限时，
∴k＞0或k＜0，b＜0，
树状图如下，
由上可得，一共存在12种等可能性，其中y＝kx+b的图象经过第三象限的有8种可能性，
∴y＝kx+b的图象经过第三象限的概率为＝，
故答案为：．
13．如图，若被击打的小球飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）直接具有的关系为h＝24t﹣4t2，则小球从飞出到落地所用的时间为 6 s．
【分析】根据关系式，令h＝0即可求得t的值为飞行的时间．
【解答】解：依题意，令h＝0得：0＝24t﹣4t2，
解得t＝0或t＝6，
小球从飞出到落地所用的时间为6﹣0＝6s．
14．廊桥是我国古老的文化遗产，如图，是某座抛物线型的廊桥示意图，已知抛物线的函数表达式为y＝﹣x2+10，为保护廊桥的安全，在该抛物线上距水面AB高为8米的点E，F处要安装两盏警示灯，则这两盏灯的水平距离EF是 18 米．
【分析】由题可知，E、F两点纵坐标为8，代入解析式后，可求出二者的横坐标，F的横坐标减去E的横坐标即为EF的长．
【解答】解：由“在该抛物线上距水面AB高为8米的点”，
可知y＝8，
把y＝8代入y＝﹣x2+10得：
8＝﹣x2+10，
解得x＝±9，
∴由两点间距离公式可求出EF＝18（米）．
故答案为：18．
15．如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，有下列结论：①abc＞0；②b﹣a＞c；③4a+2b+c＞0；④3a＞﹣c；⑤a+b＞m（am+b）（m≠1）．
其中正确的是 ②③⑤ （填序号）．
【分析】根据抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标，逐项进行判断即可．
【解答】解：由于抛物线的开口向下，因此a＜0，
由于抛物线的对称轴是直线x＝1＞0，所以a、b异号，而a＜0，所以b＞0，
由于抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴，因此c＞0，
所以abc＜0，
因此①不正确；
由图象可知，当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＜0，即b﹣a＞c，
因此②正确；
由抛物线的对称性以及图象可知，
当x＝2时，y＝4a+2b+c＞0，
因此③正确；
因为对称轴为x＝﹣＝1，即2a+b＝0，
而当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＜0，
所以3a+c＜0，
即3a＜﹣c，
因此④不正确；
由于抛物线的顶点坐标为（1，a+b+c），即x＝1时，y的值最大，即a+b+c最大，
当x＝m（m≠1）时，y＝am2+bm+c＜a+b+c，
即a+b＞m（am+b）（m≠1），
因此⑤正确；
综上所述，正确的结论有：②③⑤，
故答案为：②③⑤．
16．如图1，为世界最大跨度铁路拱桥——贵州北盘江特大桥．如图2，已知拱桥曲线呈抛物线，主桥底部跨度OA＝400m，以O为原点，OA所在直线为x轴建立平面直角坐标系，点E为抛物线最高点，立柱AB，CD，EF，GH都与x轴垂直，BN∥OA，HF＝40m，BC＝120m，若F，G，O与B，D，O均三点共线．则立柱比═ ，以及＝ ．
【分析】根据已知条件抛物线过原点及A（400，0）利用交点式写出抛物线的解析式y＝ax（x﹣400），
易得顶点E（200，﹣40000a），由于BN∥x轴且H、F、C、B皆在BN上，故他们纵坐标相同；
根据BC＝120m，HF＝40m，且FE为对称轴，AB⊥x轴，得B横坐标为400，
进而推出H、F、C点横坐标分别为160、200、280，
因为HG∥EF∥DC∥AB∥y且GD在抛物线上，可得G（160，﹣38400a）、D（280，﹣33600a），
再根据直线OG过原点，求得OG解析式为y＝﹣240ax，由于F在OG上，可求得F纵坐标﹣48000a，
则H、C、B纵坐标均为﹣48000a，表示出HG、EF、CD、AB的长度，进而求比值即可．
【解答】解：根据题意，可知二次函数图象过A（400，0）．O（0，0），
故设抛物线为y＝ax（x﹣400）（a＜0），
∵E为抛物线顶点；
∴E（200，﹣40000a），
∵AB⊥x轴，
∴B点横坐标为400，
∵BN∥x轴，
∴H、F、C、B纵坐标相同，设为n，
∵FE∥HG∥CD∥AB∥y轴，BC＝120m，HF＝40m，
∴H（160，n）、F（200，n）、C（280，n）；
∵HG∥y轴，故H、G横坐标相同，
∴G在抛物线上，
∴G（160，﹣38400a），
同理可得D（280，﹣33600a），
设直线OG：y＝kx，
则﹣38400a＝k×160，
解得：k＝﹣240a
yOG＝﹣240ax，
∵F，G，O三点共线，且F横坐标为200，
∴yF＝﹣48000a，即n＝﹣48000a，
∴H（160，﹣48000a）、C（280，﹣48000a）、B（400，﹣48000a），
∴HG＝﹣48000a﹣（﹣38400a）＝﹣9600a，
CD＝﹣4800a﹣（﹣33600a）＝﹣14400a，
AB＝﹣48000a；
∵E（200，﹣40000a），F（200，﹣48000a ），
∴EF＝﹣48000a﹣（﹣40000a）＝﹣8000a，
∴，
．
三．解答题（共8小题，共66分）
17．（6分）已知二次函数y＝x2+px+q的图象经过A（0，1），B（2，﹣1）两点．
（1）求p，q的值．
（2）试判断点P（﹣1，2）是否在此函数的图象上．
【分析】（1）把两点代入即可得出p，q的值；
（2）把x＝﹣1代入解析式，算一下y的值是否为2，即可得出答案．
【解答】解：（1）把A（0，1），B（2，﹣1）代入y＝x2+px+q，
得，
解得，
∴p，q的值分别为﹣3，1；
（2）把x＝﹣1代入y＝x2﹣3x+1，得y＝5，
∴点P（﹣1，2）不在此函数的图象上．
18．（6分）已知二次函数的图象分别经过点A（﹣2，0），B（7，0），C（0，4）．
（1）求二次函数的函数表达式；
（2）直接写出：当y＞0时，自变量x的取值范围．
【分析】（1）根据函数图象经过的三个点，设出相应的函数表达式即可．
（2）利用数形结合的思想解题即可．
【解答】解：（1）因为二次函数的图象分别经过点A（﹣2，0），B（7，0），C（0，4），
所以设二次函数的表达式为y＝a（x+2）（x﹣7），
则a（0+2）（0﹣7）＝4，得a＝．
所以二次函数的表达式为．
（2）因为a＝＜0，
所以抛物线的开口向下．
又抛物线与x轴的两个交点坐标为（﹣2，0）和（7，0），
所以当y＞0时，x的取值范围是﹣2＜x＜7．
19．（6分）已知二次函数y＝x2﹣2kx+4（k为常数），该函数图象的对称轴在y轴左侧，且函数的最小值为﹣5．
（1）求二次函数的表达式；
（2）函数图象上有两点A（x1，y1），B（x2，y2），当x1﹣x2＝2时，y1＞y2，求x1的取值范围．
【分析】（1）由题意得：，由此可求k，再根据对称轴在y轴左侧，进一步确定k值即可；
（2）由x1﹣x2＝2可得x2＝x1﹣2，将A（x1，y1），B（x2，y2）代入函数表达式，由y1＞y2可求x1的取值范围．
【解答】解：（1）由题意得：，
∴4﹣k2＝﹣5，
∴k＝±3，
∵对称轴在y轴左侧，
∴﹣，
∴k＜0，
∴k＝﹣3，
∴二次函数的表达式为：y＝x2+6x+4．
（2）∵x1﹣x2＝2，
∴x2＝x1﹣2，
∵点A、B在函数图象上，
∴y1＝+6x1+4，y2＝（x1﹣2）2+6（x1﹣2）+4＝+2x1﹣4，
∵y1＞y2，
∴+6x1+4＞+2x1﹣4，
∴x1＞﹣2，
∴x1的取值范围为：x1＞﹣2．
20．（8分）某地教育考试院进行今年的体育中考选测项目抽签仪式，抽签产生了50米跑、立定跳远、跳绳（60秒）作为今年的3项选测项目．某校九年级在考前组织了一次模拟抽测．该九年级共有500名学生，其中女生人数占总人数的60%，从九年级女生中随机抽取部分学生进行跳绳项目的测试（满分10分，所有抽测女生均达到6分及以上），并制作了如下频数表和统计图（部分信息未给出）．
抽取的女生跳绳成绩的频数表
成绩x（个） 得分（分） 频数（人）
x≥170 10 10
160≤x＜170 9 m
150≤x＜160 8 7
140≤x＜150 7 n
130≤x＜140 6 3
由图表中给出的信息回答下列问题：
（1）m＝ 16 ，n＝ 4 ．
（2）求扇形统计图中“8分”所对应的扇形圆心角的度数．
（3）如果该校九年级女生都参加测试，请你根据抽样测试的结果，估计获得9分及以上的女生有多少人？
（4）学校决定从跳绳成绩最好的甲、乙、丙、丁四位女生中随机选取两位与跳绳困难的同学组成“帮扶小组”，用列表或画树状图法求甲、乙两位女生同时被选中的概率．
【分析】（1）先求出本次抽取的人数为10÷25%＝40（人），然后由扇形统计图可知：得9分人数占比40%可求出m的值，进而可得n的值；
（2）由频数表可知得8分的人数是7人，进而可求出得8分的人数占比为17.5%，据此可求出扇形统计图中“8分”所对应的扇形圆心角的度数；
（3）由频数表可知得9分及以上人数占比为：26÷40＝65%，再根据全校九年级共有500名学生，其中女生人数占总人数的60%，可得出答案；
（4）先画树状图，然后由树状图得：共有12中等可能情况，其中甲乙同时被选中的有两种，据此可求出甲、乙两位女生同时被选中的概率．
【解答】解：（1）由频数表可知，得10分的人数是10人，
由扇形统计图可知：得10分人数占比25%，
∴本次抽取的人数为：10÷25%＝40（人），
由扇形统计图可知：得9分人数占比40%，
∴得9分的人数为：40×40%＝16（人），
∴m＝16，
又∵10+m+7+n+3＝40，
∴n＝4，
故答案为：16，4．
（2）由频数表可知，得8分的人数是7人，
∴得8分的人数占比为：7÷40＝17.5%，
∴扇形统计图中“8分”所对应的扇形圆心角的度数为：360°×17.5%＝63°；
（3）由频数表可知，得9分及以上人数是：10+m＝26（人），
∴得9分及以上人数占比为：26÷40＝65%，
∵全校九年级共有500名学生，其中女生人数占总人数的60%，
∴全校获得9分及以上的女生有：500×60%×65%＝195（人）；
（4）画树状图如下：
由树状图可知：共有12中等可能情况，其中甲乙同时被选中的有两种，
∴甲、乙两位女生同时被选中的概率为：．
21．（8分）在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象与x轴，y轴分别相交于A（﹣3，0）、B（0，﹣3），二次函数y＝x2+mx+n的图象经过点A．
（1）求一次函数y＝kx+b的表达式；
（2）若二次函数y＝x2+mx+n图象与y轴交点为（0，3），请判断此二次函数的顶点是否在直线y＝kx+b（k≠0）的图象上？
（3）当n＞0，m≤5时，二次函数y＝x2+mx+n的最小值为t，求t的取值范围．
【分析】（1）待定系数法求直线解析式即可；
（2）利用点（0，3）、A（﹣3，0）求出抛物线解析式，配方后得到抛物线的顶点坐标代入直线解析式验证即可；
（3）根据点A在二次函数图象上，可以确立9﹣3m+n＝0，即n＝3m﹣9，由n＞0可得3＜m≤5，利用最值公式得t＝﹣（m﹣6）2；根据m范围确定t的范围即可．
【解答】解：（1）∵点A（﹣3，0）、B（0，﹣3）在一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象上，
∴，解得，
一次函数解析式为：y＝﹣x﹣3．
（2）∵二次函数y＝x2+mx+n图象与y轴交点为（0，3），且A（﹣3，0）在图象上，
∴n＝3；m＝4．
∴二次函数解析式为：y＝x2+4x+4﹣1＝（x+2）2﹣1，
∴顶点坐标（﹣2，﹣1）．
当x＝﹣2时，y＝﹣x﹣3＝﹣（﹣2）﹣3＝﹣1，
∴抛物线的顶点在直线y＝﹣x﹣3上．
（3）∵二次函数y＝x2+mx+n图象过A（﹣3，0），
∴9﹣3m+n＝0，即n＝3m﹣9，
∵n＞0，
∴m＞3，
∴3＜m≤5．
∵二次函数y＝x2+mx+n的最小值为t，
∴t＝＝＝﹣（m﹣6）2；
当m＝5时，t＝﹣，
当m＝3时，t＝﹣．
∴﹣＜t≤﹣．
22．（10分）某公司计划生产甲、乙两种产品，公司市场部根据调查后得出：甲种产品所获年利润y1（万元）与投入资金n（万元）成正比例；乙种产品所获年利润y2（万元）与投入资金n（万元）的平方成正比例，并得到表格中的数据．设公司计划共投入资金m（万元）（m为常数且m＞0）生产甲、乙两种产品，其中投入乙种产品资金为x（万元）（0≤x≤m），所获全年总利润W（万元）为y1与y2之和．
n（万元） 2
y1（万元） 1
y2（万元） 0.1
（1）分别求y1和y2关于n的函数关系式；
（2）求W关于x的函数关系式（用含m的式子表示）；
（3）当m＝50时，
①公司市场部预判公司全年总利润W的最高值与最低值相差恰好是40万元，请你通过计算说明该预判是否正确；
②公司从全年总利润W中扣除投入乙种产品资金的k倍（0＜k≤3）用于其他产品的生产后，得到剩余利润W剩余（万元），若W剩余随x的增大而减小，直接写出k的取值范围．
【分析】（1）用待定系数法即可求解；
（2）由题意得：W＝（m﹣x）+x2＝x2﹣x+m；
（3）①对于W＝x2﹣x+25（0≤x≤50），利用函数的性质求解即可；
②由题意得：W剩余＝W＝x2﹣x+25﹣kx＝x2﹣（+k）x+25，根据函数的增减性即可求解．
【解答】解：（1）设y1＝k1n，y2＝k2n2，
将（2，1）、（2，0.1）分别代入上述两式得设，解得，
故y1和y2关于n的函数关系式分别为y1＝n，y2＝n2；
（2）设投入乙种产品资金为x万元，则投入甲产品的资金为（m﹣x）万元，
由题意得：W＝（m﹣x）+x2＝x2﹣x+m；
（3）当m＝50时，W＝x2﹣x+25（0≤x≤50）；
①对于W＝x2﹣x+25（0≤x≤50）；
函数的对称轴为x＝﹣＝10，
∵＞0，故W有最小值，当x＝10时，Wmin＝22.5，
当x＝50时，W有最大值，此时Wmax＝×502﹣×50+25＝62.5，
Wmax﹣Wmin＝62.4﹣22.5＝40（万元），
故公司全年总利润W的最高值与最低值相差恰好是40万元，是正确的；
②由题意得：W剩余＝W﹣kx＝x2﹣x+25﹣kx＝x2﹣（+k）x+25，
函数的对称轴为x＝﹣＝10+20k，
∵＞0，故当x＜10+20k时，W剩余随x的增大而减小，
则50≤10+20k，解得k≥2，
故k的取值范围为2≤k≤3．
23．（10分）如图，一次函数与坐标轴交于A，B两点，以A为顶点的抛物线过点B，过点B作y轴的垂线交该抛物线另一点于点D，以AB，AD为边构造 ABCD，延长BC交抛物线于点E．
（1）若a＝b＝2，如图1．
①求该抛物线的表达式．
②求点E的坐标．
（2）如图2，请问是否为定值，若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．
【分析】（1）①将a，b的值代入一次函数解析式，可求出点A，B的坐标，利用待定系数法可得出结论；
②由抛物线的对称性可得点D的坐标，根据平行四边形的性质可求出点C的坐标，进而求出直线BE的表达式，联立直线和抛物线的解析式即可得出结论；
（2）根据待定系数法可求出A，B的坐标，进而可表达AB的根据对称性可得出点D的坐标，根据菱形的性质可得出点C的坐标，进而求出直线BE的解析式，联立可求出点E的坐标，进而求出BE的长度，求比值即可得出结论．
【解答】解：（1）当a＝b＝2时，一次函数为y＝﹣x+2，
令x＝0，则y＝2；令y＝0，则x＝2，
∴A（2，0），B（0，2），
∴设抛物线的表达式为：y＝m（x﹣2）2，
将B（0，2）代入可得，4m＝2，
解得m＝；
∴抛物线的解析式为：；
②由抛物线的对称性可得，D（4，2），
由平行四边形的性质可知，C（2，4），
∴直线BE的解析式为：y＝x+2，
令＝x+2，
解得x＝0（舍）或x＝6，
∴E（6，8）；
（2）是定值，理由如下：
对于，
令x＝0，则y＝b；令y＝0，则x＝a，
∴A（a，0），B（0，b），
∴设抛物线的表达式为：y＝m（x﹣a）2，AB＝，
将B（0，b）代入可得，a2m＝b，
解得m＝；
∴抛物线的解析式为：y＝（x﹣a）2；
由抛物线的对称性可得，D（2a，b），
由平行四边形的性质可知，C（a，2b），
∴直线BE的解析式为：y＝x+b，
令y＝（x﹣a）2＝x+b，
解得x＝0（舍）或x＝3a，
∴E（3a，4b）；
∴BE＝＝3，
∴＝＝3．
24．（12分）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+5与x轴交于A（﹣1，0），B（5，0）两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点D是第一象限内抛物线上的一个动点（与点C，B不重合），过点D作DF⊥x轴于点F，交直线BC于点E，连接BD，直线BC能否把△BDF分成面积之比为2：3的两部分？若能，请求出点D的坐标；若不能，请说明理由．
（3）若M为抛物线对称轴上一动点，使得△MBC为直角三角形，请直接写出点M的坐标．
【分析】（1）利用待定系数法求解可得；
（2）利用待定系数法确定直线BC的解析式为y＝﹣x+5，设D（x，﹣x2+4x+5），则E（x，﹣x+5），F（x，0），（0＜x＜5），则DE＝﹣x2+5x，EF＝﹣x+5，利用三角形的面积公式进行讨论：当DE：EF＝2：3时，S△BDE：S△BEF＝2：3；当DE：EF＝3：2时，S△BDE：S△BEF＝3：2，从而可得到关于x的方程，然后解方程求出x就看得到对应的D点坐标；
（3）先确定抛物线的对称轴，如图，设M（2，t），利用两点间的距离公式得到BC2＝50，MC2＝t2﹣10t+29，MB2＝t2+9，利用勾股定理的逆定理分类讨论：当BC2+MC2＝MB2时，△BCM为直角三角形，则50+t2﹣10t+29＝t2+9；当BC2+MB2＝MC2时，△BCM为直角三角形，则50+t2+9＝t2﹣10t+29；当MC2+MB2＝BC2时，△BCM为直角三角形，则t2﹣10t+29+t2+9＝50，然后分别解关于t的方程，从而可得到满足条件的M点坐标．
【解答】解：（1）将A（﹣1，0），B（5，0）代入y＝ax2+bx+5，
得：，
解得，
则抛物线解析式为y＝﹣x2+4x+5；
（2）能．
设直线BC的解析式为y＝kx+m，
把C（0，5），B（5，0）代入得，
解得，
所以直线BC的解析式为y＝﹣x+5，
设D（x，﹣x2+4x+5），则E（x，﹣x+5），F（x，0），（0＜x＜5），
∴DE＝﹣x2+4x+5﹣（﹣x+5）＝﹣x2+5x，EF＝﹣x+5，
当DE：EF＝2：3时，S△BDE：S△BEF＝2：3，即（﹣x2+5x）：（﹣x+5）＝2：3，
整理得3x2﹣17x+10＝0，
解得x1＝，x2＝5（舍去），此时D点坐标为（，）；
当DE：EF＝3：2时，S△BDE：S△BEF＝3：2，即（﹣x2+5x）：（﹣x+5）＝3：2，
整理得2x2﹣13x+15＝0，
解得x1＝，x2＝5（舍去），此时D点坐标为（，）；
综上所述，当点D的坐标为（，）或（，）时，直线BC把△BDF分成面积之比为2：3的两部分；
（3）抛物线的对称轴为直线x＝2，如图，
设M（2，t），
∵B（5，0），C（0，5），
∴BC2＝52+52＝50，MC2＝22+（t﹣5）2＝t2﹣10t+29，MB2＝（2﹣5）2+t2＝t2+9，
当BC2+MC2＝MB2时，△BCM为直角三角形，∠BCM＝90°，即50+t2﹣10t+29＝t2+9，解得t＝7，此时M点的坐标为（2，7）；
当BC2+MB2＝MC2时，△BCM为直角三角形，∠CBM＝90°，即50+t2+9＝t2﹣10t+29，解得t＝﹣3，此时M点的坐标为（2，﹣3）；
当MC2+MB2＝BC2时，△BCM为直角三角形，∠CMB＝90°，即t2﹣10t+29+t2+9＝50，解得t1＝6，t2＝﹣1，此时M点的坐标为（2，6）或（2，﹣1），
综上所述，满足条件的M点的坐标为（2，7），（2，﹣3），（2，6），（2，﹣1）
浙教版2023年九年级上学期第一次月考模拟试卷
考试范围：九上第1章、第2章 考试时间：120分钟 试卷满分：120分
一．选择题（共10小题，共30分）
1．将抛物线y＝3x2先向左平移1个单位，再向下平移2个单位，所得抛物线的解析式为（ ）
A．y＝3（x﹣1）2+2 B．y＝3（x+1）2﹣2
C．y＝3（x+1）2+2 D．y＝3（x﹣1）2﹣2
2．如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且∠OBC＝45°，则下列各式成立的是（ ）
A．b﹣c﹣1＝0 B．b+c﹣1＝0 C．b﹣c+1＝0 D．b+c+1＝0
3．如图是一个游戏转盘，自由转动转盘，当转盘停止转动后，指针落在”I“所示区域的概率是（ ）
A． B． C． D．
4．若点A（﹣3，y1），B（，y2），C（2，y3）在二次函数y＝x2+2x+1的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（ ）
A．y2＜y1＜y3 B．y1＜y3＜y2 C．y1＜y2＜y3 D．y3＜y2＜y1
5．如图，二次函数y1＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与一次函数y2＝kx+m（k≠0）的图象相交于A，B两点，已知点A横坐标为﹣4，AC＝8BC，当ax2+（b﹣k）x＜m﹣c时，x的取值范围是（ ）
A．﹣4＜x＜1 B．x＜﹣4或x＞ C．x＜4或x＞1 D．﹣4＜x＜
6．已知二次函数y＝x2﹣ax，当﹣1≤x≤2时，y的最小值为﹣2，则a的值为（ ）
A．或﹣3 B．3或﹣3 C．或 D．
7．二次函数y＝ax2﹣2x+1和一次函数y＝ax﹣a（a是常数，且a≠0）在同一平面直角坐标系的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
8．将进货价格为35元的商品按单价40元售出时，能卖出200个．已知该商品单价每上涨1元，其销售量就减少5个．设这种商品的售价上涨x元时，获得的利润为y元，则下列关系式正确的是（ ）
A．y＝（x﹣35）（200﹣5x） B．y＝（x+40）（200 10x）
C．y＝（x+5）（200﹣5x） D．y＝（x+5）（200 10x）
9．二次函数y＝x2﹣4x+n与x轴只有一个交点．若关于x的方程x2﹣4x+n＝t（t为实数），在0＜x＜5范围内有解．则t的取值范围是（ ）
A．0≤t＜4 B．0≤t＜9 C．4＜t＜9 D．t≥0
10．已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）经过不同的两点A（2﹣m，n），B（m，n），下列说法正确的是（ ）
A．若m＞2时都有n＞c，则a＜0 B．若m＞1 时都有n＜c，则a＜0
C．若m＜0时都有n＞c，则a＞0 D．若m＜0时都有n＜c，则a＞0
二．填空题（共6小题，共24分）
11．二次函数y＝（x﹣2）2+3，当﹣1＜x＜4时，y的取值范围为 ．
12．袋子里有四个完全相同的球，球上分别标有数字﹣1，﹣3，1，4，随机摸出一个球，记下数字为k：不放回，再随机摸出一个球，记下数字为b，则y＝kx+b的图象经过第三象限的概率为 ．
13．如图，若被击打的小球飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）直接具有的关系为h＝24t﹣4t2，则小球从飞出到落地所用的时间为 s．
14．廊桥是我国古老的文化遗产，如图，是某座抛物线型的廊桥示意图，已知抛物线的函数表达式为y＝﹣x2+10，为保护廊桥的安全，在该抛物线上距水面AB高为8米的点E，F处要安装两盏警示灯，则这两盏灯的水平距离EF是 米．
15．如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，有下列结论：①abc＞0；②b﹣a＞c；③4a+2b+c＞0；④3a＞﹣c；⑤a+b＞m（am+b）（m≠1）．
其中正确的是 （填序号）．
16．如图1，为世界最大跨度铁路拱桥——贵州北盘江特大桥．如图2，已知拱桥曲线呈抛物线，主桥底部跨度OA＝400m，以O为原点，OA所在直线为x轴建立平面直角坐标系，点E为抛物线最高点，立柱AB，CD，EF，GH都与x轴垂直，BN∥OA，HF＝40m，BC＝120m，若F，G，O与B，D，O均三点共线．则立柱比═ ，以及＝ ．
三．解答题（共8小题，共66分）
17．（6分）已知二次函数y＝x2+px+q的图象经过A（0，1），B（2，﹣1）两点．
（1）求p，q的值．
（2）试判断点P（﹣1，2）是否在此函数的图象上．
18．（6分）已知二次函数的图象分别经过点A（﹣2，0），B（7，0），C（0，4）．
（1）求二次函数的函数表达式；
（2）直接写出：当y＞0时，自变量x的取值范围．
19．（6分）已知二次函数y＝x2﹣2kx+4（k为常数），该函数图象的对称轴在y轴左侧，且函数的最小值为﹣5．
（1）求二次函数的表达式；
（2）函数图象上有两点A（x1，y1），B（x2，y2），当x1﹣x2＝2时，y1＞y2，求x1的取值范围．
20．（8分）某地教育考试院进行今年的体育中考选测项目抽签仪式，抽签产生了50米跑、立定跳远、跳绳（60秒）作为今年的3项选测项目．某校九年级在考前组织了一次模拟抽测．该九年级共有500名学生，其中女生人数占总人数的60%，从九年级女生中随机抽取部分学生进行跳绳项目的测试（满分10分，所有抽测女生均达到6分及以上），并制作了如下频数表和统计图（部分信息未给出）．
抽取的女生跳绳成绩的频数表
成绩x（个） 得分（分） 频数（人）
x≥170 10 10
160≤x＜170 9 m
150≤x＜160 8 7
140≤x＜150 7 n
130≤x＜140 6 3
由图表中给出的信息回答下列问题：
（1）m＝ ，n＝ ．
（2）求扇形统计图中“8分”所对应的扇形圆心角的度数．
（3）如果该校九年级女生都参加测试，请你根据抽样测试的结果，估计获得9分及以上的女生有多少人？
（4）学校决定从跳绳成绩最好的甲、乙、丙、丁四位女生中随机选取两位与跳绳困难的同学组成“帮扶小组”，用列表或画树状图法求甲、乙两位女生同时被选中的概率．
21．（8分）在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象与x轴，y轴分别相交于A（﹣3，0）、B（0，﹣3），二次函数y＝x2+mx+n的图象经过点A．
（1）求一次函数y＝kx+b的表达式；
（2）若二次函数y＝x2+mx+n图象与y轴交点为（0，3），请判断此二次函数的顶点是否在直线y＝kx+b（k≠0）的图象上？
（3）当n＞0，m≤5时，二次函数y＝x2+mx+n的最小值为t，求t的取值范围．
22．（10分）某公司计划生产甲、乙两种产品，公司市场部根据调查后得出：甲种产品所获年利润y1（万元）与投入资金n（万元）成正比例；乙种产品所获年利润y2（万元）与投入资金n（万元）的平方成正比例，并得到表格中的数据．设公司计划共投入资金m（万元）（m为常数且m＞0）生产甲、乙两种产品，其中投入乙种产品资金为x（万元）（0≤x≤m），所获全年总利润W（万元）为y1与y2之和．
n（万元） 2
y1（万元） 1
y2（万元） 0.1
（1）分别求y1和y2关于n的函数关系式；
（2）求W关于x的函数关系式（用含m的式子表示）；
（3）当m＝50时，
①公司市场部预判公司全年总利润W的最高值与最低值相差恰好是40万元，请你通过计算说明该预判是否正确；
②公司从全年总利润W中扣除投入乙种产品资金的k倍（0＜k≤3）用于其他产品的生产后，得到剩余利润W剩余（万元），若W剩余随x的增大而减小，直接写出k的取值范围．
23．（10分）如图，一次函数与坐标轴交于A，B两点，以A为顶点的抛物线过点B，过点B作y轴的垂线交该抛物线另一点于点D，以AB，AD为边构造 ABCD，延长BC交抛物线于点E．
（1）若a＝b＝2，如图1．
①求该抛物线的表达式．
②求点E的坐标．
（2）如图2，请问是否为定值，若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．
24．（12分）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+5与x轴交于A（﹣1，0），B（5，0）两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点D是第一象限内抛物线上的一个动点（与点C，B不重合），过点D作DF⊥x轴于点F，交直线BC于点E，连接BD，直线BC能否把△BDF分成面积之比为2：3的两部分？若能，请求出点D的坐标；若不能，请说明理由．
（3）若M为抛物线对称轴上一动点，使得△MBC为直角三角形，请直接写出点M的坐标．
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